[論文レビュー] Entropy numbers and Marcinkiewicz-type discretization theorem

Feng Dai, Andriy Prymak+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2020

Mathematical Approximation and Integration参考文献 19被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、一様ノルムにおける有限次元関数部分空間のエントロピー数の上界を確立し、それらの上界を用いて$L_p$ノルムに対するMarcinkiewicz型離散化定理を証明する。主な貢献は、相対的サンプリング密度にのみ依存する定数を有する重み付きの構成的離散化結果であり、$N$次元部分空間上で$L_2$ノルムを一様に近似するには$O(N \log N)$個のサンプリング点で十分であることを示している。

ABSTRACT

This paper studies the behavior of the entropy numbers of classes of functions with bounded integral norms from a given finite dimensional linear subspace. Upper bounds of these entropy numbers in the uniform norm are obtained and applied to establish a Marcinkiewicz type discretization theorem for integral norms of functions from a given finite dimensional subspace.

研究の動機と目的

• 有限次元部分空間内における$L_p$ノルムが有界な関数族のエントロピー数を分析すること。
• 一様ノルムにおけるこれらのエントロピー数の上界を導出すること。
• エントロピー上界を応用し、有限次元部分空間上の$L_p$ノルムに対してMarcinkiewicz型離散化定理を確立すること。
• 最適なサンプルサイズ$m = O(N \log N)$を有する重み付きサンプリング離散化スキームを構成すること。
• 関数解析的技法を用いて、$1 \leq p < 2$に対する$L_p$ノルムへの離散化結果を拡張すること。

提案手法

• 関数族の$L_\infty$におけるメトリックエントロピーを定量化するために、被覆数とエントロピー数の使用。
• コーシー＝シュワルツの不等式の適用および変換$Uf(x) = f(x)/F(x)$による$L_2$ノルムの保存、ここで$F(x) = \left(\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \varphi_j(x)^2\right)^{1/2}$。
• 離散化問題を$d\nu = F^2 d\mu$による$L_2(\Omega_0, d\nu)$の部分空間に還元し、既知の部分空間離散化結果の適用を可能にする。
• 先行研究からの定理1.2の適用により、$L_2$ノルムが$3/2$の要因以内で保存される有限集合$\Lambda \subset \Omega_0$（サイズ$O(N \log N)$）の存在を保証する。
• 補題5.1の使用により、$m \leq bN$個の点と重み$\lambda_j$を用いた重み付きサンプリング離散化を構成し、任意の$f \in X_N$に対して$\|f\|_2^2 \leq \sum \lambda_j |f(x^j)|^2 \leq C(b-1)^{-2} \|f\|_2^2$が成り立つようにする。
• バナッハ＝マズール距離と$L(X_N, q, \varepsilon)$型推定を用いて$1 \leq p < 2$への拡張を図り、離散化と$\ell_q^m$におけるメトリックエントロピーの関連を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様ノルム下での$N$次元部分空間内に存在する$L_p$有界関数族のエントロピー数の上界は何か？
• RQ2 これらのエントロピー上界を用いて、誤差を制御可能な$L_p$ノルムのサンプリング離散化スキームを構成可能か？
• RQ3 $N$次元部分空間上で$L_2$ノルムを一様近似するための最小サンプリング点数は何か？
• RQ4 離散化の品質は相対的サンプリング密度$b = m/N$にどのように依存するか？
• RQ5 関数解析的ツールを用いて、$L_2$離散化結果を$1 \leq p < 2$に対する$L_p$ノルムへ拡張可能か？

主な発見

• 関数族の有限次元部分空間におけるメトリックエントロピー推定を可能にするように、$\varepsilon_k(X_N^p, L_\infty)$のエントロピー数が$N$および$p$の関数として上界で抑えられている。
• 任意の$N$次元部分空間$X_N \subset L_\infty(\Omega)$に対して、$m = O(N \log N)$個の点$\{x^j\}$と非負の重み$\lambda_j$が存在し、すべての$f \in X_N$に対して$\|f\|_2^2 \leq \sum_{j=1}^m \lambda_j |f(x^j)|^2 \leq C(b-1)^{-2} \|f\|_2^2$が成り立つ。ここで$b = m/N \in (1,2]$。
• 上界における定数$C$は絶対的であり、$b$への依存は鋭い：$b \to 1^+$のとき、定数は$(b-1)^{-2}$に比例して発散する。
• この結果により、$X_N \in \mathcal{M}(m,2,\varepsilon)$であり、$\varepsilon \sim (b-1)^{-2}/m$となる。これは、$m = O(N \log N)$個の点で$\varepsilon$-近似が可能であることを示している。
• $1 \leq p < 2$に対しては、バナッハ＝マズール距離推定を用いて方法を拡張でき、$L(X_N, q, \varepsilon)$の境界が、適切な条件下で$m = O(N \log N)$個の点による離散化を示唆する。
• 構成は有効的であり、関数解析における確率的および幾何的技法（特に$F(x)$-重み付き測度と部分空間埋め込み）に依存している。