[論文レビュー] Entropy of Bernoulli convolutions and uniform exponential growth for linear groups

Emmanuel Breuillard, Péter P. Varjú|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 59被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、数論における Lehmer の予想と線型群の均等指数的成長予想との間で深い等価性を確立する。代数的 λ に対して x ↦ λx ± 1 で生成されるアフィン半群上のランダムウォークのエントロピーを分析することにより、著者らはエントロピー hλ が Mλ の定数倍で下から抑えられることを証明する。ここで Mλ は λ の Mahler 測度である。これはベルヌーイ畳み込みの次元と群の成長率を結びつけ、Mλ が 1 に近い場合を除き、代数的 λ が 1 に近い限り dim µλ = 1 であることを示し、成長予想を Lehmer の予想に還元する。

ABSTRACT

The exponential growth rate of non polynomially growing subgroups of $GL_d$ is conjectured to admit a uniform lower bound. This is known for non-amenable subgroups, while for amenable subgroups it is known to imply the Lehmer conjecture from number theory. In this note, we show that it is equivalent to the Lehmer conjecture. This is done by establishing a lower bound for the entropy of the random walk on the semigroup generated by the maps $x\mapsto \lambda\cdot x\pm 1$, where $\lambda$ is an algebraic number. We give a bound in terms of the Mahler measure of $\lambda$. We also derive a bound on the dimension of Bernoulli convolutions.

研究の動機と目的

• 線型群の均等指数的成長予想と Lehmer の予想との間の等価性を確立すること。
• 代数的 λ に対して x ↦ λx ± 1 で生成される半群上のランダムウォークのエントロピーの下界を求める。
• Mahler 測度 Mλ を用いたベルヌーイ畳み込み測度 µλ の次元の境界を導出すること。
• Lehmer の予想のもとで、代数的 λ ∈ (1−ε, 1) に対して dim µλ = 1 が成り立つことを示し、全次元のための未条件で十分な条件を提供すること。
• 有限生成線型群の成長率 ρS が、代数的 λ かつ根の単位根でない場合、log Mλ の定数倍で下から抑えられることを示すこと。

提案手法

• Hochman の定理を用いて、ベルヌーイ畳み込み測度 µλ の次元を x ↦ λx ± 1 で生成される半群上のランダムウォークのエントロピー hλ と関連付ける。
• 両側の境界 c·min{1, log Mλ} ≤ hλ ≤ min{1, log Mλ} を、c > 0 である絶対定数として、エントロピーと測度論的技法を用いて確立する。
• c(ν0) が ν0 に依存する一般化されたエントロピー境界を、整数に台を持つ i.i.d. 増分 ν0 に対して導出する。
• ピングポーン法と群論的議論（例えば、Zariski 閉包、最大トーラス、ユニポテンツ根）を用いて線型群の成長を分析する。
• Platonov の中心化子に関する結果と Jordan の定理を用いて、有限部分群を制御し、有界指数のアーベル部分群を構成する。
• アフィン群における非バーチカル・ニルポテンツ部分群は、特定の準同型のもとで非アーベル像を持つ必要があるという事実を活用し、成長率の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線型群の均等指数的成長予想は Lehmer の予想と同値か？
• RQ2 半群 x ↦ λx ± 1 で生成されるランダムウォークのエントロピー hλ は Mahler 測度 Mλ の関数として下から抑えられるか？
• RQ3 Lehmer の予想のもとで、すべての代数的 λ ∈ (1−ε, 1) に対して dim µλ = 1 が成り立つか？
• RQ4 Salem 数 λ ∈ (1/2, 1) に対して、hλ が log Mλ に等しくなることはあり得るか？
• RQ5 可解性クラスが有界な線型群に対して、成長率 ρS の一様な下界は存在するか？

主な発見

• GLd(C) の成長予想は Lehmer の予想と同値である：群がバーチカル・ニルポテンツでない限り、ρS > 0 が一様に成り立つ。
• 任意の代数的数 λ に対して、ある絶対定数 c > 0 を用いて c·min{1, log Mλ} ≤ hλ ≤ min{1, log Mλ} が成り立つ。数値的に c ≈ 0.44 である。
• Mλ < 2 かつ λ が単位円上にガロア共役を持たない場合、hλ < log Mλ が成り立つ。これは上界が一般的に厳密であることを示している。
• Lehmer の予想が成り立つ限り、すべての代数的 λ ∈ (1−ε, 1) に対して µλ の次元は 1 である。これは多くの λ に対して未条件でも成り立つ。
• 任意の可解性クラス r が有界な群に対して、cr > 0 が存在し、ρS = 0（バーチカル・ニルポテンツ）または ρS > cr log Mλ が成り立つ。ここで λ は単位根でない代数的数である。
• この結果は、整数に台を持つ一般の i.i.d. 増分 ν0 に対しても拡張可能であり、c(ν0) > 1−ε が可能である。これにより、多くの新しい偏り付きベルヌーイ畳み込みの全次元が保証される。