[論文レビュー] Entropy of black holes in topologically massive gravity

Yun Soo Myung, H. W. Lee+1 more|ArXiv.org|Jun 24, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、トポロジカル質量重力におけるトップスケール重力（CS-BTZ）ブラックホールのための新しいエントロピー式 $\tilde{S}_{BH} = \pi\tilde{r}_{+}/(2G_3)$ を提案する。ここで、ホライズン半径 $\tilde{r}_{+}$ は重力的チェーン＝サイモンズ項によって修正されている。このエントロピーは熱力学の第一法則および面積則を満たし、従来のシフトされたエントロピー $S_c$ が内ホライズンに依存するという問題を回避するため、この理論におけるブラックホールエントロピーのより物理的に妥当な候補を提供する。

ABSTRACT

We study the issue of black hole entropy in the topologically massive gravity. Assuming that the presence of gravitational Chern-Simons term with the coupling $1/μ$ does modify the horizon radius $ ilde{r}_+$, we propose $ ilde{S}_{BH}=π ilde{r}_+/2G_3$ as the Bekenstein-Hawking entropy. This entropy of CS-BTZ black hole satisfies the first-law of thermodynamics and the area-law but it is slightly different from the shifted-entropy $S_c=πr_+/2G_3+ (1/μl)πr_-/2G_3$ based on the BTZ black hole with outer $r_+$ and inner horizon $r_-$. In the case of $r_-=0$, $ ilde{S}_{BH}$ represents the entropy of non-rotating BTZ black hole with the Chern-Simons term (NBTZ-CS), while $S_c$ reduces to the entropy of NBTZ black hole. It shows that $ ilde{S}_{BH}$ may be a candidate for the entropy of the CS-BTZ black hole.

研究の動機と目的

• トポロジカル質量重力におけるチェーン＝サイモンズ項の付随するBTZブラックホールの熱力学的不一致を解消すること。
• 従来提案されたシフトエントロピー $S_c$ が内ホライズン $r_-$ に依存するという問題を扱うこと。これは、ブラックホールエントロピーが外ホライズンにのみ関連するとされる物理的解釈に反する。
• 熱力学的整合性を保証するため、第一法則および面積則を満たす新しいエントロピー $\tilde{S}_{BH}$ を提案すること。
• 非回転状態および $\mu l \to \infty$ の極限において、新しいエントロピー $\tilde{S}_{BH}$ が標準的なベケンシュタイン＝ホーキングエントロピーに正しく還元されることを確認し、既知の極限と整合することを示すこと。

提案手法

• 著者らは、チェーン＝サイモンズ項の効果を質量および角運動量に反映させることで、修正されたメトリック関数 $f(r)$ と $N^\phi$ を導出し、その結果としてシフトされたホライズン半径 $\tilde{r}_{+}$ を得た。
• 修正された外ホライズン半径に基づき、新しいエントロピー $\tilde{S}_{BH} = \pi\tilde{r}_{+}/(2G_3)$ を定義した。これにより、ベケンシュタイン＝ホーキングの面積則が満たされる。
• 修正されたメトリックから得られるオンシェル温度および角速度を用いて、第一法則の熱力学 $dM = \tilde{T}_H d\tilde{S}_{BH} + \tilde{\Omega}_+ dJ$ が新しいエントロピーによって満たされることを検証した。
• 新しいエントロピー $\tilde{S}_{BH}$ を従来のシフトエントロピー $S_c = \pi r_+/(2G_3) + (1/\mu l)\pi r_-/(2G_3)$ と比較し、$\tilde{S}_{BH}$ が内ホライズン $r_-$ に依存しないことを示した。これにより、重要な物理的不整合が解消された。
• チャーラル限界 $\mu l = 1$ および非回転状態（$j=0$）を分析し、既知の結果と整合することを確認した。特に、チャーラル点における極限エントロピーも正しく再現された。
• CFT手法と比較し、$\tilde{S}_{BH}$ が、$S_c$ の導出とは異なり、シフトされたVirasoro生成子や中心電荷を用いたチェーン＝サイモンズ項の二重数え上げを必要としないことを指摘した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカル質量重力における重力的チェーン＝サイモンズ項の存在が、ブラックホールエントロピー式の修正を必要とするか。その場合、どのように定義すべきか？
• RQ2 従来提案されたシフトエントロピー $S_c$ が内ホライズン $r_-$ に依存する理由は何か？ブラックホールエントロピーが外ホライズンにのみ関連するとされる物理的解釈に照らして、これは物理的に妥当と言えるか？
• RQ3 チェーン＝サイモンズ項の効果を一貫して組み込みつつ、第一法則の熱力学および面積則を満たす新しいエントロピー式を構築できるか？
• RQ4 非回転状態およびチャーラル点 $\mu l = 1$ における新しいエントロピー $\tilde{S}_{BH}$ の振る舞いは何か？また、既知の結果に還元されるか？
• RQ5 AdS3/CFT2対応の文脈において、エントロピーの物理的解釈は何か？また、シフトされた中心電荷を用いたCFTから得られるエントロピーと $\tilde{S}_{BH}$ はどのように比較できるか？

主な発見

• 提案されたエントロピー $\tilde{S}_{BH} = \pi\tilde{r}_{+}/(2G_3)$ は、修正された温度 $\tilde{T}_H$ および角速度 $\tilde{\Omega}_+$ を用いた第一法則の熱力学 $dM = \tilde{T}_H d\tilde{S}_{BH} + \tilde{\Omega}_+ dJ$ を満たす。
• 新しいエントロピー $\tilde{S}_{BH}$ は、外ホライズン $\tilde{r}_{+}$ の面積に比例するため、面積則を満たす。これに対して、シフトエントロピー $S_c$ は内ホライズン $r_-$ に比例する項を含むため、面積則を満たさない。
• 非回転状態（$j=0$）では、$\tilde{S}_{BH}^{j=0} = \pi l \sqrt{m/(2G_3)} \left( \sqrt{1 + 1/\mu l} + \sqrt{1 - 1/\mu l} \right)$ となり、$\mu l \to \infty$ の極限でNBTZエントロピーに正しく還元される。これは整合性を確認するものである。
• チャーラル点 $\mu l = 1$ では、エントロピーは $\tilde{S}_{BH}^{j=0} = \pi l \sqrt{m/G_3}$ となり、CS-BTZブラックホールの極限エントロピーと一致する。
• シフトエントロピー $S_c$ が内ホライズン $r_-$ に依存することから、物理的原理に反する。特に $1/\mu l$ 項が $r_-$ に直接結合されているため、物理的でない自由度が含まれると示唆される。
• 新しいエントロピー $\tilde{S}_{BH}$ は、CFTにおけるシフトされた中心電荷やVirasoro生成子を用いる必要がなく、$S_c$ の導出に見られるチェーン＝サイモンズ項の二重数え上げ問題を回避する。