[論文レビュー] Entropy of meromorphic maps and dynamics of birational maps

Henry de Thélin, Gabriel Vigny|ArXiv.org|Jun 26, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、コンパクトなカハラー多様体上の有理型写像に対して、最大エントロピー測度を構成するための基準を確立し、それを $\mathbb{P}^k$ 上の一般の双有理写像に適用する。スーパーポテンシャルと複素ポテンシャル論を用いて、グリーンの電流と均衡測度を構成し、それが混合的であることを証明した。また、多重極集合に質量を割り当てず、双曲的であることも示し、最大エントロピー性およびカオス的力学を確認した。

ABSTRACT

We study the dynamics of meromorphic maps for a compact Kaehler manifold X. More precisely, we give a simple criterion that allows us to produce a measure of maximal entropy. We can apply this result to bound the Lyapunov exponents. Then, we study the particular case of a family of generic birational maps of P^k for which we construct the Green currents and the equilibrium measure. We use for that the theory of super-potentials. We show that the measure is mixing and gives no mass to pluripolar sets. Using the criterion we get that the measure is of maximal entropy. It implies finally that the measure is hyperbolic.

研究の動機と目的

• コンパクトなカハラー多様体上の有理型写像の力学における最大エントロピー測度を特定するための一般的基準を構築すること。
• 終準同型写像にとどまらず、非自明な不定性集合を有する $\mathbb{P}^k$ 上の双有理写像に対しても均衡測度の構成を拡張すること。
• 均衡測度が混合的であり、双曲的であることを証明し、それが最大エントロピー測度としての役割を果たすことを確認すること。
• 高次元の不定性集合と非一様双曲性が複素力学に与える課題に対処すること。

提案手法

• エントロピーの上限と下限を不変測度のエントロピーに対して評価するため、Yomdinの定理をエントロピーの上限評価に応用する。
• 不定性集合の存在下でも、特異な電流を取り扱い、電流の楔積を定義するためにスーパーポテンシャルを用いる。
• 繰り返し写像による引き戻しの極限として、双次数 $(1,1)$ のグリーン電流および高次の電流を構成する。
• Hartogsの収束性および準正則化技術を用いて、極限におけるスーパーポテンシャルの安定性と収束性を保証する。
• 均衡測度をグリーン電流のMonge-Ampère積として定義し、正則性と不変性を保証する。
• 最大エントロピーの基準を用いて双曲的であることを導出し、非ゼロのリャプノフ指数および安定・不安定多様体の存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなカハラー多様体上の有理型写像に対して、最大エントロピー測度を特定する一般的基準を定式化できるか？
• RQ2 動的次数が最高次元で最大でない場合、$\mathbb{P}^k$ 上の双有理写像に対してグリーン電流と均衡測度をどのように構成できるか？
• RQ3 スーパーポテンシャルを用いて構成された均衡測度は、多重極集合に質量を割り当てず、混合的性質を示すか？
• RQ4 均衡測度は双曲的であり、これが写像の最大エントロピー性を示唆するか？
• RQ5 コードメニエーション ≥2 の不定性集合が、不変測度の構成に与える影響をどのように扱えるか？

主な発見

• 著者らは、測度が最大エントロピーであることを保証する基準を確立し、それを $\mathbb{P}^k$ 上の双有理写像に適用した。
• スーパーポテンシャルを用いて、特異性を伴うにもかかわらず、グリーン電流のMonge-Ampère積として均衡測度を構成し、定義の明確さを保証した。
• 均衡測度が混合的であることが示され、強い統計的性質およびカオス的挙動を示した。
• 測度が多重極集合に質量を割り当てないことが確認され、その台が非多重極集合上にあることが示された。
• 測度が双曲的であることが証明され、非ゼロのリャプノフ指数を有し、ほとんど everywhere で安定・不安定多様体が存在することがわかった。
• 構成により、測度が最大エントロピーであることが確認され、このクラスの写像におけるエントロピー最大化という中心的問題が解決された。