[論文レビュー] Entropy on abelian groups

Dikran Dikranjan, Anna Giordano Bruno|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、任意のアーベル群の自己準同型写像に対して代数的エントロピーの新しい定義を導入し、非可逆写像へとペターズの概念を一般化する。主な貢献は、不変部分群上での加法性を示す『加法定理』であり、これにより一意性定理が得られ、数論におけるマーラー測度とレーマー問題との深い関係が明らかになる。

ABSTRACT

We introduce the algebraic entropy for endomorphisms of arbitrary abelian groups, appropriately modifying existing notions of entropy. The basic properties of the algebraic entropy are given, as well as various examples. The main result of this paper is the Addition Theorem showing that the algebraic entropy is additive in appropriate sense with respect to invariant subgroups. We give several applications of the Addition Theorem, among them the Uniqueness Theorem for the algebraic entropy in the category of all abelian groups and their endomorphisms. Furthermore, we point out the delicate connection of the algebraic entropy with the Mahler measure and Lehmer Problem in Number Theory.

研究の動機と目的

• 任意のアーベル群の自己準同型写像へ代数的エントロピーの概念を、自己同型やねじれ群に限らない一般の群へ拡張すること。
• 加法定理を確立し、不変部分群上での代数的エントロピーの加法性を示すこと。
• 一意性定理を証明し、アーベル群の圏において自然な公理を満たす関数として定義されたエントロピーが一意的であることを示すこと。
• 代数的エントロピーと数論的不変量（特にマーラー測度とレーマー問題）との関係を明確にすること。
• 代数的エントロピーが有限部分集合に対するエントロピーとして実現される条件を調査すること、特にねじれ群や有限ランクのねじれ自由群において。

提案手法

• アーベル群 $ G $ の自己準同型写像 $ \phi $ の代数的エントロピー $ h(\phi) $ を、$ G $ の空でない有限部分集合 $ F \subset G $ についての極限 $ \lim_{n\to\infty} \frac{\log|T_n(\phi,F)|}{n} $ の上限として定義する。ここで $ T_n(\phi,F) = F + \phi(F) + \cdots + \phi^{n-1}(F) $ である。
• 任意の有限部分集合 $ F $ に対して、極限 $ H(\phi,F) = \lim_{n\to\infty} \frac{\log|T_n(\phi,F)|}{n} $ が存在することを証明し、エントロピーの定義が適切に成立することを保証する。
• 加法定理を確立：$ \phi $-不変部分群 $ H \leq G $ に対して、$ h(\phi) = h(\phi|_H) + h(\overline{\phi}) $ が成り立つ。ここで $ \overline{\phi} $ は商群 $ G/H $ に誘導される自己準同型写像である。
• 加法定理を用いて一意性定理を証明し、アーベル群の圏において標準的な公理（加法定理を含む）を満たす関数としてのエントロピー関数の一意性を示す。
• 理論を応用し、ねじれ群や有限ランクのねじれ自由群において、エントロピーがある有限部分集合によって実現されることを示す。
• 有限部分集合の軌道の成長を介して、エントロピーとマーラー測度を関連付ける。特にレーマー問題の文脈で。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル群の自己同型写像に限らない一般の自己準同型写像へ、代数的エントロピーの概念を一貫的に拡張できるか？
• RQ2 代数的エントロピーは、不変部分群と商群におけるエントロピーの和として分解される加法定理を満たすか？
• RQ3 定義された代数的エントロピーは、単調性、共軛不変性、不変部分群における加法性といった自然な公理を満たす関数として一意的か？
• RQ4 代数的エントロピーとマーラー測度の関係は何か？特にレーマー問題の文脈で。
• RQ5 どのような条件下で代数的エントロピーが有限部分集合に対するエントロピーとして実現されるか？

主な発見

• 加法定理が成立する：任意の $ \phi $-不変部分群 $ H \leq G $ に対して、$ h(\phi) = h(\phi|_H) + h(\overline{\phi}) $ が成り立つ。ここで $ \overline{\phi} $ は商群 $ G/H $ における自己準同型写像である。
• 一意性定理が確立された：定義されたエントロピーは、アーベル群の自己準同型写像の関数として、標準的な公理（加法定理を含む）を満たす唯一の関数である。
• ねじれアーベル群では、新しいエントロピー $ h $ は古典的関数 $ \operatorname{ent} $ と一致し、ある有限部分群 $ F $ に対して $ h(\phi) = H(\phi,F) $ が成り立つ。
• 有限ランクのねじれ自由アーベル群では、エントロピーもまた実現可能である：ある有限部分集合 $ F $ が存在し、$ h(\phi) = H(\phi,F) $ が成り立つ。
• 代数的エントロピーはマーラー測度と関連しており、最小の正のエントロピー値の文脈でレーマー問題が自然に現れる。
• すべての有限部分集合によってエントロピーが実現されないような自己準同型写像が存在する。これは、実現が常に保証されないことを示している。