[論文レビュー] Entropy-stable hybridized discontinuous Galerkin methods for the compressible Euler and Navier-Stokes equations

Pablo Fernández, Ngoc Cuong Nguyen+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 50被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、エントロピー変数を用いたエントロピー安定ハイブリッド不連続ガラーキン（HDG）法を、圧縮性エーラー方程式およびナビエ＝ストークス方程式に適用する手法を提案する。エントロピー変数におけるスキームの定式化と適切な数値フラックスの選択により、積分的意味での第二法則熱力学が満たされ、エントロピー安定性が保証される。これにより、特に未分解解およびショック捕捉流れにおいて、安定性と耐障害性が著しく向上するが、最適な精度の順序を維持する。

ABSTRACT

In the spirit of making high-order discontinuous Galerkin (DG) methods more competitive, researchers have developed the hybridized DG methods, a class of discontinuous Galerkin methods that generalizes the Hybridizable DG (HDG), the Embedded DG (EDG) and the Interior Embedded DG (IEDG) methods. These methods are amenable to hybridization (static condensation) and thus to more computationally efficient implementations. Like other high-order DG methods, however, they may suffer from numerical stability issues in under-resolved fluid flow simulations. In this spirit, we introduce the hybridized DG methods for the compressible Euler and Navier-Stokes equations in entropy variables. Under a suitable choice of the stabilization matrix, the scheme can be shown to be entropy stable and satisfy the Second Law of Thermodynamics in an integral sense. The performance and robustness of the proposed family of schemes are illustrated through a series of steady and unsteady flow problems in subsonic, transonic, and supersonic regimes. The hybridized DG methods in entropy variables show the optimal accuracy order given by the polynomial approximation space, and are significantly superior to their counterparts in conservation variables in terms of stability and robustness, particularly for under-resolved and shock flows.

研究の動機と目的

• 未分解解およびショック捕捉流れにおける高次不連続ガラーキン（DG）法の数値不安定性を解消すること。
• 静的縮退による計算効率とエントロピー安定性を併せ持つハイブリッドDGフレームワークを構築すること。
• 数値スキームが積分的意味で第二法則熱力学を満たすようにすること。
• 亜音速、準音速、超音速流れのシミュレーションにおいて、耐障害性と精度を向上させること。
• 安定性および収束性の観点で、保存変数に対する形式に比べ、エントロピー変数形式が優れていることを示すこと。

提案手法

• エントロピー変数における圧縮性エーラー方程式およびナビエ＝ストークス方程式の定式化により、エントロピー安定性解析を可能にする。
• 静的縮退による効率性を実現する一般化されたHDG、EDG、IEDG法を統合したハイブリッドDG離散化を採用する。
• 特定のエントロピー保存恒等式を満たす数値フラックスを構築し、エントロピー安定性を保証する。
• 計算領域全体の総エントロピーが非減少であることを保証する離散的エントロピー変化方程式を導出する。
• 要素単位の解と数値トレースを含むハイブリッド未知数を用いた変分定式化を採用し、自由度を削減する。
• 粘性項に対して射影に基づく安定化を適用し、数値フラックスによる境界条件との整合性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮性エーラー方程式およびナビエ＝ストークス方程式に対して、エントロピー変数を用いたエントロピー安定ハイブリッドDG法を構築できるか？
• RQ2 提案手法はエントロピー安定性を保証しながらも、最適な精度の順序を維持するか？
• RQ3 未分解解およびショック捕捉流れにおいて、エントロピー変数形式は保存変数形式に比べて耐障害性に優れているか？
• RQ4 スキームが離散的かつ積分的意味で第二法則熱力学を保存できるか？
• RQ5 準音速および超音速流れなど、困難な流れ状態における手法の性能はいかがなものか？

主な発見

• エントロピー変数を用いたハイブリッドDG法は、多項式近似空間と一致する最適な精度の順序を達成する。
• 適切な数値フラックスの選択により、積分的意味で第二法則熱力学が満たされ、スキームはエントロピー安定性を有する。
• 特に未分解解およびショック捕捉領域において、保存変数形式に比べて優れた安定性と耐障害性を示す。
• 亜音速、準音速、超音速の定常および非定常流れに対する数値結果は、本手法の有効性と精度を確認する。
• エントロピー変数の使用により、不連続性付近での振動が減少し、収束性が向上する。
• 極めて未分解なシミュレーションにおいても安定性を維持するため、大規模渦シミュレーションへの応用における耐障害性の向上が示唆される。