[論文レビュー] Entropy Stable p-Nonconforming Discretizations with the Summation-by-Parts Property for the Compressible Euler equations

David C. Del Rey Fernández, Mark H. Carpenter+7 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 48被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、可 compressible Euler 方程式の曲線メッシュに対する、エントロピー安定で p-非適合な discontinuous Galerkin 法に、和分による部分和（SBP）性質を拡張する。非適合界面における SBP を保つ補間およびメトリック近似を用いることで、エントロピー安定性、要素単位の保存性、および静止流体の保存性を達成し、ベンチマークテストにおいて適合型の対応手法と同等の精度と安定性を示す。

ABSTRACT

The entropy conservative/stable algorithm of Friedrich~\etal (2018) for hyperbolic conservation laws on nonconforming p-refined/coarsened Cartesian grids, is extended to curvilinear grids for the compressible Euler equations. The primary focus is on constructing appropriate coupling procedures across the curvilinear nonconforming interfaces. A simple and flexible approach is proposed that uses interpolation operators from one element to the other. On the element faces, the analytic metrics are used to construct coupling terms, while metric terms in the volume are approximated to satisfy a discretization of the geometric conservation laws. The resulting scheme is entropy conservative/stable, elementwise conservative, and freestream preserving. The accuracy and stability properties of the resulting numerical algorithm are shown to be comparable to those of the original conforming scheme (~p+1 convergence) in the context of the isentropic Euler vortex and the inviscid Taylor-Green vortex problems on manufactured high order grids.

研究の動機と目的

• 可 compressible Euler 方程式の曲線メッシュに対するエントロピー安定で p-非適合な discontinuous Galerkin 法を拡張すること。
• 曲がった要素における非適合界面でエントロピー安定性および保存性を保証すること。
• p-細分化／粗分化の存在下でも、静止流体の保存性および高次精度を維持すること。
• SBP を保つ補間および一貫したメトリック近似を用いた、頑健な結合手順の開発。
• 製造された高次メッシュ上での適合型ベンチマークと比較して、スキームの精度と安定性を検証すること。

提案手法

• Friedrich ら（2018）のエントロピー保存／安定フレームワークを、同時近似項（SATs）を有する SBP 演算子を用いて曲線要素に適応する。
• 非適合要素間の補間演算子を用いて、界面を越えた解の値を結合する。
• 要素面における解析的メトリックと体積メトリック項の近似を用い、幾何的保存則を満たす。
• Crean ら（2017）のメトリック近似技術を適用し、エントロピー安定性および要素単位の保存性を維持する。
• Gauss-Legendre-Lobatto（LGL）点を用いたノード配置型 DG 離散化を実装し、高次精度を達成する。
• 界面および体積項を慎重に構築することで、不自然な源項を回避し、静止流体の保存性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エントロピー安定 p-非適合 DG スキームを、安定性および保存性を保ちつつ曲線メッシュに拡張できるか？
• RQ2 曲がった要素における非適合界面を、エントロピー安定性や静止流体の保存性を損なわずどのように結合できるか？
• RQ3 高次曲がった要素において、幾何的保存則と一貫性を保つメトリック近似戦略は何か？
• RQ4 得られたスキームは、適合型 SBP-DG スキームと同等の収束率および安定性を維持するか？
• RQ5 非線形問題（例：Taylor–Green ヴァーテックス）の長時間シミュレーションにおいて、この手法は頑健に保たれるか？

主な発見

• 提案されたスキームは、可 compressible Euler 方程式の p-非適合曲線メッシュ上でエントロピー安定性および要素単位の保存性を達成する。
• 静止流体解が保存されることを確認した。これは、不自然な渦度が生じず、運動エネルギーの変化が一貫していることから裏付けられている。
• 断熱渦問題において、p=1 から p=7 の範囲で L1、L2、L∞ 範囲で p+1 収束率を示し、適合型スキームと同等の性能を示した。
• p=2 から p=10 の Taylor–Green ヴァーテックステストでは、20 時間単位にわたり安定であり、爆発や物理的に不自然な振動が観測されなかった。
• L1 および L2 範囲では、適合型スキームよりもわずかに高い精度を示したが、L∞ 誤差は最適でない補間の影響でわずかに悪化した。
• 運動エネルギーの時間微分が有界であり、物理的に一貫しており、非線形で長時間のシミュレーションにおいても頑健であることが確認された。