[論文レビュー] Entropy, topological transitivity, and dimensional properties of unique $q$-expansions

Rafael Alcaraz Barrera, Simon Baker+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$ q \in (1, M+1] $ における一意的 $ q $-展開の集合 $ \mathbf{U}_q $ のトポロジカルエントロピー関数 $ H(q) = h(\mathbf{U}_q) $ を特徴づけ、それが明示的な段差を持つデービルの階段関数であり、全ハウスドルフ次元を持つカントール集合である分岐集合 $ \mathscr{E} $ を持つことを証明する。さらに、すべての $ q \in (1, M+1] $ に対して、一意的集合 $ \mathcal{U}_q $ のボックス次元とハウスドルフ次元が一致することを確立し、長年の次元的等価性問題を解決する。

ABSTRACT

Let $M$ be a positive integer and $q \in(1,M+1].$ We consider expansions of real numbers in base $q$ over the alphabet $\{0,\ldots, M\}$. In particular, we study the set $\mathcal{U}_{q}$ of real numbers with a unique $q$-expansion, and the set $\mathbf{U}_q$ of corresponding sequences. It was shown in (Komornik et al, 2017 Adv. Math.) that the function $H$, which associates to each $q\in(1, M+1]$ the topological entropy of $\mathcal{U}_q$, is a Devil's staircase. In this paper we explicitly determine the plateaus of $H$, and characterize the bifurcation set $\mathcal E$ of $q$'s where the function $H$ is not locally constant. Moreover, we show that $\mathcal E$ is a Cantor set of full Hausdorff dimension. We also investigate the topological transitivity of a naturally occurring subshift $(\mathbf{V}_q, σ),$ which has a close connection with open dynamical systems. Finally, we prove that the Hausdorff dimension and box dimension of $\mathcal{U}_q$ coincide for all $q\in(1,M+1]$.

研究の動機と目的

• トポロジカルエントロピー関数 $ H(q) = h(\mathbf{U}_q) $ の段差を特徴づけること。これは、すでにデービルの階段関数であることが知られていた。
• 分岐集合 $ \mathscr{E} $ を特定・分析し、$ H(q) $ が局所定数でない点を特定し、それが全ハウスドルフ次元を持つカントール集合であることを証明すること。
• 部分シフト $ (\mathbf{V}_q, \sigma) $ の位相的トランジティビティを調査すること。これは、オープンな力学系と一意的展開の構造に関連している。
• すべての $ q \in (1, M+1] $ に対して、一意的集合 $ \mathcal{U}_q $ のボックス次元とハウスドルフ次元が等しいことを確立することにより、重要な次元的問題を解決すること。

提案手法

• 著者たちは、記号的力学と辞書的不等式を用いて、$ \mathbf{U}_q $ の一意的 $ q $-展開の集合を、1 の辞書的最大展開 $ \alpha(q) $ 及びその反転を用いて特徴づける。
• 彼らは、$ H(q) $ を、不可約および $ * $-不可約区間を分析することで研究し、パラメータ空間の分解と、$ H(q) $ が定数である領域（段差）の同定を可能にする。
• 分岐集合 $ \mathscr{E} $ は、$ q $-展開の構造と、エントロピーが正に変わる臨界値 $ q_c $（Komornik-Loreti 定数）を用いて分析される。
• $ (\mathbf{V}_q, \sigma) $ の位相的トランジティビティは、2 つの領域 $ q \in [q_G, q_T] $ および $ q \in (q_T, M+1] $ において、シフト不変性と区間構造を用いて証明される。
• 次元の等価性のため、著者たちは $ \mathcal{U}_q $ の被覆を、$ \mathcal{W}_q $（$ \mathcal{U}_q $ の要素で、非ゼロの最初の桁を持つ展開を持つ点の集合）のスケーリングコピーを用いて構成する。
• 彼らは、幅 $ \delta_n = \frac{M}{q^n(q-1)} $ の区間被覆を用いてボックス次元を評価し、$ \#B_n(\mathbf{W}_q) $ の成長をエントロピーと関連づけ、$ \overline{\dim}_B(\mathcal{U}_q) = \frac{h(\mathbf{W}_q)}{\log q} $ を証明する。この値は $ \dim_H(\mathcal{U}_q) $ に等しい。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エントロピー関数 $ H(q) = h(\mathbf{U}_q) $ の明示的な段差は何か？ そして、どの区間で定数であるか？
• RQ2 分岐集合 $ \mathscr{E} $ の構造は何か？ ここで $ H(q) $ は局所定数でない。その位相的およびフラクタル的性質は？
• RQ3 $ q \in (1, M+1] $ 全体にわたって、部分シフト $ (\mathbf{V}_q, \sigma) $ の位相的トランジティビティは一様か？ そして、オープンな力学系とはどのように関係するか？
• RQ4 すべての $ q \in (1, M+1] $ に対して、一意的集合 $ \mathcal{U}_q $ のボックス次元とハウスドルフ次元は一致するか？ もしそうなら、その理由は何か？

主な発見

• エントロピー関数 $ H(q) $ は、パラメータ空間における不可約および $ * $-不可約区間を用いて特徴づけられる明示的な段差を持つデービルの階段関数である。
• エントロピーが局所定数でない点である分岐集合 $ \mathscr{E} $ は、全ハウスドルフ次元を持つカントール集合であり、そのフラクタル的複雑性が確認された。
• $ (\mathbf{V}_q, \sigma) $ の部分シフトは、すべての $ q \in (1, M+1] $ に対して位相的にトランジティブであり、2 つの明確に異なるパラメータ領域でトランジティビティが確立された。
• すべての $ q \in (1, M+1] $ に対して、$ \mathcal{U}_q $ のボックス次元とハウスドルフ次元は等しく、共通の値は $ \frac{h(\mathbf{U}_q)}{\log q} $ である。
• 次元の等価性の証明は、$ \mathcal{U}_q $ の区間被覆を $ \mathcal{W}_q $ のスケーリングコピーを用いて構成し、$ \#B_n(\mathbf{W}_q) $ の成長をエントロピーで評価することに依拠している。
• 著者たちは、$ \overline{\dim}_B(\mathcal{U}_q) = \overline{\dim}_B(\mathcal{W}_q) $ を確立し、$ \dim_H(\mathcal{U}_q) = \frac{h(\mathbf{W}_q)}{\log q} $ であることを示したため、次元の等価性が導かれた。