[論文レビュー] Entropy via multiplicity

Boris Kruglikov, Martin Rypdal|ArXiv.org|May 2, 2005

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、角拡張と多重性の増加に基づいて、区分的アフィン写像の位相的エントロピーの上限を確立し、エントロピーが主に拡張と特異点の多重性に起因することを示している。非拡張的等角的区分的アフィン写像は位相的エントロピーがゼロであることを証明し、特異点の多重性に起因する異常なエントロピー成長を示すスケイプ積の例を提示することで、リヤプノフ指数の和を超えるエントロピー推定を精緻化している。

ABSTRACT

The topological entropy of piecewise affine maps is studied. It is shown that singularities may contribute to the entropy only if there is angular expansion and we bound the entropy via the expansion rates of the map. As a corollary we deduce that non-expanding conformal piecewise affine maps have zero topological entropy. We estimate the entropy of piecewise affine skew-products. Examples of abnormal entropy growth are provided.

研究の動機と目的

• 特異点と多重性の増加が区分的アフィン写像の位相的エントロピーにどのように寄与するかを理解すること。
• 滑らかな力学系におけるエントロピーの上限を、特異点を伴う区分的アフィン系へと拡張すること。
• 特に非拡張的および等角的写像の場合に位相的エントロピーがゼロとなる条件を特定すること。
• スケイプ積系の分析を行い、そのエントロピーが因子のエントロピーの和を上回る条件を同定すること。
• リヤプノフ指数の和を、拡張と多重性の項に置き換えることで、エントロピー推定を精緻化すること。

提案手法

• 写像の逆引き度合い $ d_n^f $ を用いた被覆数の増加率として位相的エントロピーを定義し、度合いの選択に依存しない不変性を保証する。
• 点が1つに集まる分割要素の最大数の指数的増加率として、多重性エントロピー $ H_{\text{mult}}(f) $ を導入する。
• 微分 $ d_xf^n $ の最大リヤプノフ的ノルムに基づいて定義される拡張率 $ \lambda^+(f) $ を用い、角拡張を定量化する。
• 不等式 $ h_{\text{top}}(f) \leq \lambda^+(f) + H_{\text{mult}}(f) $ を確立し、エントロピーが拡張と多重性によって上限づけられることを示す。
• スケイプ積写像を、ベースとファイバーのダイナミクスへの分解により分析し、特異点の多重性に起因する乗法的補正項を含める。
• 具体的な例（収縮写像や可算個の区分的等長写像など）を構成し、リヤプノフ指数がゼロであったり、因子のエントロピーが有限であったりしても、正のエントロピーを示すことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続性の分割における多重性の増加は、区分的アフィン写像の位相的エントロピーにどのように影響するか？
• RQ2 正のリヤプノフ指数が存在しない場合でも、エントロピーが拡張率と多重性の増加のみによって上限づけられるか？
• RQ3 どのような条件下で区分的アフィン写像が位相的エントロピーをゼロに持つのか、特に等角的かつ非拡張的ケースにおいて。
• RQ4 スケイプ積系のエントロピーが、その構成要素のエントロピーの和を超えることはあり得るか？ もしあるとすれば、そのメカニズムは何か？
• RQ5 特異点を伴う区分的アフィン写像へと、ルエ・マーガリスの不等式をどの程度まで一般化できるか？

主な発見

• 任意の区分的アフィン写像の位相的エントロピーは、その拡張率 $ \lambda^+(f) $ と多重性エントロピー $ H_{\text{mult}}(f) $ の和によって上限づけられ、すなわち $ h_{\text{top}}(f) \leq \lambda^+(f) + H_{\text{mult}}(f) $ が成り立つ。
• 非拡張的等角的区分的アフィン写像は、多重性エントロピーが消え、拡張率が非正であるため、位相的エントロピーがゼロである。
• スケイプ積系は、特異点の多重性の乗法的増加に起因して、因子のエントロピーの和を上回るエントロピーを示すことがある。例2で示されている。
• 厳密に収縮する区分的アフィン写像でも、多重性が指数関数的に増加する限り、正の位相的エントロピーを有することができる。例1で示されている。
• 可算個の領域を有する区分的等長写像では、領域のサイズの減少率に応じて、位相的エントロピーが正または無限大になり得る。これは、有限領域の結果とは矛盾する。
• すべてのリヤプノフ指数がゼロであっても、多重性エントロピー $ H_{\text{mult}}(f) $ は正になり得る。例3では、点Aにおける多重性のおかげで $ h_{\text{top}}(f) = \log 2 $ となる。