[論文レビュー] Enumerating (2+2)-free posets by indistinguishable elements

Mark Dukes, Sergey Kitaev+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、(2+2)-自由なposetにおける同定不能な要素の集合の最大サイズを測る統計量maxindistを導入し、同定不能な要素が連続する等しい要素（ラン）に対応する上昇列と(2+2)-自由なposetの間の全単射を確立する。主な貢献は、maxindistと異なる厳密な下集合の数で refining された(2+2)-自由なposetの生成関数であり、Jovovićによるすべての行または列がゼロのない上三角二値行列に関する予想を裏付ける。

ABSTRACT

A poset is said to be (2+2)-free if it does not contain an induced subposet that is isomorphic to 2+2, the union of two disjoint 2-element chains. Two elements in a poset are indistinguishable if they have the same strict up-set and the same strict down-set. Being indistinguishable defines an equivalence relation on the elements of the poset. We introduce the statistic maxindist, the maximum size of a set of indistinguishable elements. We show that, under a bijection of Bousquet-Melou et al., indistinguishable elements correspond to letters that belong to the same run in the so-called ascent sequence corresponding to the poset. We derive the generating function for the number of (2+2)-free posets with respect to both maxindist and the number of different strict down-sets of elements in the poset. Moreover, we show that (2+2)-free posets P with maxindist(P) at most k are in bijection with upper triangular matrices of nonnegative integers not exceeding k, where each row and each column contains a nonzero entry. (Here we consider isomorphic posets to be equal.) In particular, (2+2)-free posets P on n elements with maxindist(P)=1 correspond to upper triangular binary matrices where each row and column contains a nonzero entry, and whose entries sum to n. We derive a generating function counting such matrices, which confirms a conjecture of Jovovic, and we refine the generating function to count upper triangular matrices consisting of nonnegative integers not exceeding k and having a nonzero entry in each row and column. That refined generating function also enumerates (2+2)-free posets according to maxindist. Finally, we link our enumerative results to certain restricted permutations and matrices.

研究の動機と目的

• 「(2+2)-自由なposetにおける同定不能な要素の集合の最大サイズ」を定義・研究すること。
• 同定不能な要素が上昇列における連続する等しい要素（ラン）に対応するように、(2+2)-自由なposetと上昇列との間の全単射を確立すること。
• maxindistと異なる厳密な下集合の数で refining された(2+2)-自由なposetの生成関数を導出すること。
• maxindist ≤ k を満たす(2+2)-自由なposetが、すべての行または列がゼロでない非負整数 ≤ k を成分とする上三角行列と双対であることを示すこと。
• すべての行または列がゼロでない上三角二値行列に関するJovovićの予想の生成関数を確認すること。

提案手法

• Bousquet-Mélouらが確立した(2+2)-自由なposetと上昇列の間の全単射を用い、maxindist統計量を上昇列におけるランの性質に翻訳する。
• 連続する等しいペアの数を表す統計量epairs(a)を、上昇列aに対して定義する。これは関連するposetにおける同定不能な要素に対応する。
• 長さがk未満のランをもつ上昇列の精巧な構造を用いて生成関数を構成し、項(1 - 1/(1+t)^i)を含む積の形を得る。
• maxindist ≤ k を満たす(2+2)-自由なposetと、成分が{0,1,...,k}ですべての行または列がゼロでない上三角行列との間の全単射を、組合せ的写像によって確立する。
• 成分が≤kですべての行または列がゼロでない行列の精巧な生成関数を導出し、上昇列とposetとの関係を通じてJovovićの予想を確認する。
• 既知の全単射を用いてマッチングと置換へと結果を拡張し、maxindistが置換における隣接する下降と、マッチングにおける類似する弧に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして(2+2)-自由なposetにおける同定不能な要素の概念を、新しい統計量maxindistを用いて形式化・列挙できるか？
• RQ2 maxindistと異なる厳密な下集合の数で refining された(2+2)-自由なposetの生成関数は何か？
• RQ3 maxindist ≤ k を満たす(2+2)-自由なposetは、構造化された行列の観点から組合せ的に解釈可能か？
• RQ4 すべての行または列がゼロでない上三角二値行列の生成関数は、Jovovićの予想された式と一致するか？
• RQ5 既知の全単射の下で、上昇列、poset、置換、マッチングにおける統計量はどのように関係するか？

主な発見

• maxindist ≤ k かつn個の要素をもつ(2+2)-自由なposetの数の生成関数は、項(1 - 1/(1+t)^i)を含む積の形で与えられ、精巧な列挙を裏付ける。
• maxindist = 1 である(2+2)-自由なposetの数は、すべての行または列がゼロでない上三角二値行列で、要素の和がnであるものの数に等しい。
• すべての行または列がゼロでない上三角二値行列の生成関数は、∑_{n≥0} ∏_{i=1}^{n} (1 - 1/(1+t)^i) であり、Jovovićの予想を裏付ける。
• (2+2)-自由なposetにおける統計量maxindistは、関連する上昇列における等しい連続ペアの数に対応する。
• maxindist ≤ k を満たす(2+2)-自由なposetの数は、すべての行または列がゼロでない非負整数 ≤ k を成分とする上三角行列と双対である。
• 成分が≤kですべての行または列がゼロでない行列の精巧な生成関数は、maxindistで refining された(2+2)-自由なposetの生成関数と一致する。