[論文レビュー] Enumerating maximal definite quadratic forms of bounded class number over Z in n >= 3 variables

Jonathan Hanke|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正確な質量公式および局所不変量の境界を用いて、類数がB以下のn ≥ 3変数の原始的で正定値かつ最大のZ-値二次形式を列挙するアルゴリズムを提示する。主な結果として、類数が1である形式を正確に115個列挙し、次元3から10までの完全なリストを提供する。

ABSTRACT

In this paper we give an algorithm for enumerating all primitive (positive) definite maximal Z-valued quadratic forms Q in n >= 3 variables with bounded class number h(Q) <= B. We do this by analyzing the exact mass formula [GHY], and bounding all relevant local invariants to give only finitely many possibilities. We also briefly describe an open-source implementation of this algorithm we have written in Python/Sage which explicitly enumerates all such quadratic forms of bounded class number in n >= 3 variables. Using this we determine that there are exactly 115 primitive positive definite maximal Z-valued quadratic forms in n >= 3 variables of class number one, and produce a list of them. In a future paper we will complete this chain of ideas by extending these algorithms to allow the enumeration of all primitive maximal totally definite O_F-valued quadratic lattices of rank n >= 3, where O_F is the ring of integers of any totally real number field F.

研究の動機と目的

• 類数h(Q) ≤ Bであるn ≥ 3変数の原始的で正定値かつ最大のZ-値二次形式を列挙するためのアルゴリズムを開発すること。
• 表現論が効果的でない高ランク形式において、二変数および三変数の場合を越えて、小類数形式の理解を拡張すること。
• 類数1であるようなすべての形式の完全で明示的なリストを提供し、定値形式の分類における長年の空白を解消すること。
• 全実数体上の最大全正定的OF格子の将来的な列挙の基盤を築くこと。

提案手法

• アルゴリズムは[GHY01]の正確な質量公式を用いて、類数が有界である二次形式の可能な不変量を制約する。
• すべての関連する局所不変量（例えばRおよびZ_p上）を境界づけ、有限個の候補に制限する。
• 幾何学的および代数的数論の技術を適用し、判別式の解析および局所環上の表現条件を含む。
• Python/Sageで実装されており、形式の明示的計算と検証を可能にする。
• 類数1であるということは、局所的表現が全球的表現を意味することを活用し、探索を単純化する。
• 導出された境界を満たすすべての形式を体系的にチェックし、最大性および原始性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 3変数の原始的で正定値かつ最大のZ-値二次形式で、類数が1であるものはいくつあるか？
• RQ2 その完全なリストは何か？ また、その不変量（例：行列式、形式、表現）は何か？
• RQ3 類数1の列挙を三変数形式を超えて、体系的でアルゴリズム的なアプローチを用いて拡張可能か？
• RQ4 高次元におけるこのような形式の数を制限する構造的および算術的制約は何か？
• RQ5 このアルゴリズムを全実数体上のOF格子へ一般化可能か？

主な発見

• 本稿では、類数が1である原始的で正定値かつ最大のZ-値二次形式を、n ≥ 3変数で正確に115個列挙している。
• リストには次元3から10の形式が含まれており、次元3では64個、次元10では1個に減少している。
• アルゴリズムは局所不変量を境界づけ、正確な質量公式を適用することで、類数1のすべての形式を特定した。
• Python/Sageでの実装により、リストの完全性が確認され、115個すべての形式の検証が可能になった。
• 類数1の形式は次元11以上では存在しないことが結果から確認され、以前の境界と整合している。
• 本稿では、すべての115個の形式の完全な表を提供しており、その行列式、判別式、および明示的な二次形式を含む。