[論文レビュー] Enumerating permutations avoiding a pair of Babson-Steingrimsson patterns

Anders Claesson, Toufik Mansour|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、BabsonとSteingrímssonによって導入されたタイプ(1,2)または(2,1)の一般化された置換パターンの任意のペアを回避する置換の完全な列挙を提供する。再帰的分解と、二分木、自己同型、モーツキン経路などの組合せ的構造との双対写像を用いて、このような置換の数の正確な公式を導出しており、その数え上げがベル数、カタラン数、モーツキン数、ベッセル数、または他の既知の数列に従うことを示している。本研究は、Claessonの単一パターンに関する結果をペアに拡張し、より大きなパターン集合についての挙動を予想している。

ABSTRACT

Babson and Steingrìmsson introduced generalized permutation patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. Subsequently, Claesson presented a complete solution for the number of permutations avoiding any single pattern of type (1,2) or (2,1). For eight of these twelve patterns the answer is given by the Bell numbers. For the remaining four the answer is given by the Catalan numbers. In the present paper we give a complete solution for the number of permutations avoiding a pair of patterns of type (1,2) or (2,1). We also conjecture the number of permutations avoiding the patterns in any set of three or more such patterns.

研究の動機と目的

• タイプ(1,2)または(2,1)のパターンの単一回避分類をClaessonの結果からペアに拡張すること。
• 任意の与えられたタイプ(1,2)または(2,1)の一般化された置換パターンのペアを回避する置換の正確な数を特定すること。
• このような置換クラスを数える組合せ的数列（例：カタラン、モーツキン、ベル、ベッセル）を同定すること。
• 計算的証拠に基づいて、3つ以上のパターンからなる集合についての数え上げ数列を予想すること。

提案手法

• 最大要素の位置に基づく置換の再帰的分解を用い、一般化されたパターンの構造を活用する。
• 2つのパターンを回避する置換クラスと、既知の組合せ的対象（例：二分木、自己同型、モーツキン経路）との双対写像を確立する。
• 母関数と漸化式を用いて、置換数の増加をモデル化する。$ a_n $ や $ b_n $ といった列挙列について、$ \sum a_n x^n = \frac{1}{1 - x - x^2 \sum B_n^* x^n} $ および $ b_{n+2} = b_{n+1} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b_k $ で定義されるものも含む。
• 対称性とウィルフ類の分析を用いて、パターンペアを同値類に分類し、取り扱う必要があるケース数を削減する。
• 計算された小規模なケースの値から組合せ的数列を同定・検証するために、オンライン整数列大辞典（OEIS）を活用する。
• パターン数 $ |P| \geq 3 $ について、$ |\mathcal{S}_n(P)| $ を体系的に計算し、より大きなパターン集合についての妥当な予想を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $ n $ の置換のうち、任意の与えられたタイプ(1,2)または(2,1)の一般化された置換パターンのペアを回避するものの正確な数は何か？
• RQ2 カタラン数、モーツキン数、ベル数、ベッセル数などの既知の組合せ的数列のうち、どの数列がこのようなペアを回避する置換を数えるか？
• RQ3 対称性とウィルフ同値性は、これらのパターンペアをどのように同値類に分類するか？
• RQ4 3つ以上のこのようなパターンを回避する置換クラスの漸近的または構造的挙動はいかなるものか？
• RQ5 3つ以上のパターンを回避する置換の数え上げにおいて、一般化されたパターンが特定できるか？

主な発見

• タイプ(1,2)または(2,1)のパターンペアに対して、その回避置換の数は常に標準的な数列のいずれかで与えられる：ベル数（$ B_n $）、カタラン数（$ C_n $）、モーツキン数（$ M_n $）、ベッセル数（$ B_n^* $）、または特定の漸化式で定義される数列。
• ペア $ (1{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}23, 12{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}3) $ は、$[n]$ の非重複分割を数えるベッセル数 $ B_n^* $ をもたらす。
• ペア $ (1{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}23, 1{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}32) $ は、$ \mathcal{S}_n $ 内の自己同型の数 $ I_n $ をもたらす。
• ペア $ (1{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}23, 13{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}2) $ は、円周上に交差しない弦を数えるモーツキン数 $ M_n $ をもたらす。
• 3つ以上のパターンからなる集合については、本稿は数え上げ数列が 0、$ n $、$ 1 + \binom{n}{2} $、$ F_n $（フィボナッチ）、$ \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} $、$ 2^{n-2} + 1 $、$ 2^{n-1} $、または $ M_n $ のいずれかであると予想しており、対称性とウィルフクラスごとの頻度分布も示している。