[論文レビュー] Enumerating Regular Objects associated with Suzuki Groups

Martin Downs, Gareth A. Jones|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Suzuki群 $Sz(q)$ の部分群格子に Möbius 反転を適用し、その向きを保つ自己同型群が $Sz(q)$ に同型であるような正則な組合せ的対象——マップ、ハイパーマップ、dessins d'enfants、および表面被覆——を数える。$Sz(q)$ に対して計算された Möbius 関数 $μ_G$ を用いて、これらの対象を数える明示的な公式を導出し、最小の非アーベル単純Suzuki群 $Sz(8)$ について詳細な数え上げを実施した。その結果、1054個の正則ハイパーマップと9534個の向きを保つ正則ハイパーマップが得られた。

ABSTRACT

We use the Möbius function of the simple Suzuki group Sz(q) to enumerate regular objects such as maps, hypermaps, dessins d'enfants and surface coverings with automorphism groups isomorphic to Sz(q).

研究の動機と目的

• Suzuki群 $Sz(q)$ に同型な自己同型群をもつ正則な組合せ的対象——マップ、ハイパーマップ、dessins d'enfants など——の数え上げを、非アーベル有限単純群であるSuzuki群 $Sz(q)$ に拡張すること。
• Suzuki群 $Sz(q)$ の部分群格子におけるHallのMöbius反転理論を適用し、商が $Sz(q)$ に同型となる有限生成群 $\Gamma$ の正規部分群を数えることにより、正則な対象を数えること。
• 最小のSuzuki群 $Sz(8)$ について包括的な数え上げを提供すること。正則および向きを保つ正則マップとハイパーマップのタイプごとの数、および正則表面被覆の genus ごとの数を示すこと。
• 過去の研究で $f|e$ を満たす部分群 $Sz(2^f)$ に制限されたMöbius反転を用いていたのを、$G = Sz(2^e)$ に対して完全なMöbius関数 $\mu_G$ を用いることで、より広範かつ包括的な数え上げを実現すること。

提案手法

• 有限群 $G$ の部分群格子におけるHallのMöbius反転を用い、Möbius関数 $\mu_G(H)$ を $\sum_{K \geq H} \mu_G(K) = \delta_{H,G}$ により再帰的に定義する。
• 公式 $|{\rm Epi}(\Gamma, G)| = \sum_{H \leq G} \mu_G(H) |{\rm Hom}(\Gamma, H)|$ を用いて、$G = Sz(q)$ へのエピモルフィズムの数を数え、これは自己同型群が $G$ に同型である正則な対象に対応する。
• $\Gamma/N \cong G$ を満たす正規部分群 $N \triangleleft \Gamma$ の数を $n_\Gamma(G) = \frac{1}{|{\rm Aut}\,G|} \sum_{H \leq G} \mu_G(H) |{\rm Hom}(\Gamma, H)|$ で計算し、${{\rm Aut}\,G}$ による生成対の軌道数と関連付ける。
• 特徴表理論および群論的データ（例えば、Sylow部分群、共轭類）を用いて、$xyz = 1$ を満たす与えられた位数の生成三つ組の数を決定し、これによりハイパーマップおよびマップのタイプが分類される。
• 公式 $r_g(G) = \frac{1}{3} \left\{ |G|^n (1 + 2\cdot14^{-n} + \cdots) - \cdots \right\}$ において $n = 2g-2$ を用い、向きを保つ曲面の genus $g$ に対する正則被覆を数える。
• 部分群 $H \cong Sz(2^f)$ に制限されない完全なMöbius関数 $\mu_G$（$G = Sz(2^e)$）を用いることで、過去の研究よりも広範かつ包括的な数え上げを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 向きを保つ自己同型群が $Sz(8)$ に同型である正則ハイパーマップおよびマップはそれぞれいくつあるか？
• RQ2 $G = Sz(8)$ を向きを保つ自己同型群とする向きを保つ正則マップおよびハイパーマップのタイプ $\{m,n\}$ の分布はどのようになるか？
• RQ3 被覆群が $G = Sz(8)$ である向きを保つ曲面の正則被覆は、genus $g$ に対していくつ存在するか？また、$g$ が増加するにつれてその数はどのように変化するか？
• RQ4 $G = Sz(2^e)$ に対する ${{\rm Aut}\,G}$ の生成対への作用の軌道数はいくつであり、正則対象の数とどのように関係するか？
• RQ5 $G = Sz(q)$ に対して完全なMöbius関数 $\mu_G$ を用いて、過去の制限付き反転手法の範囲外にあった正則対象をどのように数え上げることができるか？

主な発見

• 群 $G = Sz(8)$ は1054個の正則ハイパーマップおよび14個の正則マップの自己同型群であり、これらすべてが非可縮的である。
• 向きを保つ正則ハイパーマップは9534個、向きを保つ正則マップは142個存在する。
• 142個の向きを保つ正則マップのうち、14個は反射的（内部反射的）であり、残りの128個は64組のチラル対を形成する。
• タイプ $\{m,n\}$ の向きを保つ正則マップの数は表4に示されており、タイプ $\{5,5\}$ が30個、タイプ $\{7,7\}$ が62個、タイプ $\{13,13\}$ が34個である。
• タイプ $\{m,n\}$ の正則マップの数は表5に示されており、合計14個存在する。$\{4,n\}$ や $\{m,4\}$ のタイプは存在しない。これは、逆元に共轭する位数4の元が存在しないためである。
• genus $g=2$ のとき、被覆群が $G = Sz(8)$ である向きを保つ曲面の正則被覆の数は286,063,776個であり、$g \to \infty$ のとき、漸近的に $r_g(G) \sim 847,974,400^{g-1}/3$ となる。