[論文レビュー] Enumerating the total number of subtrees of trees

Shuchao Li, Shujing Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2012

Graph theory and applications参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、マッチング数、支配数、最大次数、葉の数、直径などのさまざまな構造的制約下で、$n$ 頂点の木における部分木総数および葉を含む部分木の数の鋭い上限と下限を決定する。極値を達成する極値木（経路型およびスターベースの構成を含む）を同定し、組合せ最適化および部分木数え上げ技術を用いる。

ABSTRACT

Over some types of trees with a given number of vertices, which trees minimize or maximize the total number of subtrees or leaf containing subtrees are studied. Here are some of the main results:\ (1)\, Sharp upper bound on the total number of subtrees (resp. leaf containing subtrees) among $n$-vertex trees with a given matching number is determined; as a consequence, the $n$-vertex tree with domination number $γ$ maximizing the total number of subtrees (resp. leaf containing subtrees) is characterized. (2)\, Sharp lower bound on the total number of leaf containing subtrees among $n$-vertex trees with maximum degree at least $Δ$ is determined; as a consequence the $n$-vertex tree with maximum degree at least $Δ$ having a perfect matching minimizing the total number of subtrees (resp. leaf containing subtrees) is characterized. (3)\, Sharp upper (resp. lower) bound on the total number of leaf containing subtrees among the set of all $n$-vertex trees with $k$ leaves (resp. the set of all $n$-vertex trees of diameter $d$) is determined.

研究の動機と目的

• 与えられた構造的制約下で、部分木総数を最大または最小にする $n$ 頂点の極値木を同定すること。
• マッチング数、支配数、最大次数、葉の数、直径などの制約下で、葉を含む部分木の数を極値化する木を特徴付けること。
• 特定の木のクラス（固定されたマッチング数や直径を有するものなど）における部分木数の鋭い上限および下限を確立すること。
• 既知のウィーナー指数の極値性に関する結果を部分木数え上げに拡張し、両者の不変量間に存在する構造的類似性を明らかにすること。

提案手法

• 特に経路型およびスターベースの構成を極値候補として焦点を当てた、木構造における組合せ最適化を用いる。
• キャタピラー木や中心頂点の次数が高い木における部分木数え上げに関する既知の結果を適用する。
• 再帰的分解と、$ F(T) = F(T - v) + F(T - N_T(v)) $ という公式を用いた部分木数え上げを行う。ここで $ F(T) $ は $ T $ に含まれる部分木の数を表す。
• ウィーナー指数と部分木数の関係を活用し、特定の制約下で両者が同じ極値木（経路とスターベース）で最大または最小化されることに注目する。
• 矛盾と構造的変換を用いて極値性を証明するため、補題 2.6 および事実 1 を用いる。
• 床関数および天井関数を用いた閉形式の式を導出し、例えば $ F^*(T_n^k) = \left(\left\lfloor\frac{n-1}{k}\right\rfloor+1\right)^i \left(\left\lceil\frac{n-1}{k}\right\rceil+1\right)^j - \left(\left\lfloor\frac{n-1}{k}\right\rfloor\right)^i \left(\left\lceil\frac{n-1}{k}\right\rceil\right)^j + i\left\lfloor\frac{n-1}{k}\right\rfloor + j\left\lceil\frac{n-1}{k}\right\rceil $ のように表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マッチング数が固定された $n$ 頂点の木の中で、部分木総数を最大または最小にするのはどれか？
• RQ2 支配数が $\gamma$ の $n$ 頂点の木の中で、葉を含む部分木の数を最大または最小にするのはどれか？
• RQ3 最大次数が $\Delta$ 以上の $n$ 頂点の木の中で、葉を含む部分木の数の鋭い下限は何か？
• RQ4 $k$ 個の葉をもつ $n$ 頂点の木の中で、部分木数が最大または最小になるのはどれか？
• RQ5 直径が $d$ の $n$ 頂点の木の中で、葉を含む部分木の数を最小または最大にするのはどれか？

主な発見

• マッチング数が $q$ の $n$ 頂点の木で、部分木総数を最大にするものは特徴付けられ、極値木は $k = q$ の $T_n^k$ であることが示された。
• 支配数が $\gamma$ の木において、部分木数を最大にする極値木は、$k = \gamma$ の $T_n^k$ として一意に特徴付けられる。
• 最大次数が $\Delta$ 以上の $n$ 頂点の木の中で、葉を含む部分木数の鋭い下限は、完全マッチングをもち、最大次数が $\Delta$ である木によって達成され、部分木数を最小化する。
• 直径 $d$ の $n$ 頂点の木の中で、葉を含む部分木数を最小にする極値木は $\hat{T}_{n,i}^d$ であり、$i = \lfloor d/2 \rfloor + 1$ または $i = \lceil d/2 \rceil + 1$ である。その部分木数は $2^{n-d-1}(\lfloor d/2 \rfloor + 1)(\lceil d/2 \rceil + 1) + \binom{\lfloor d/2 \rfloor + 1}{2}\binom{\lceil d/2 \rceil + 1}{2} + n - d - 1 - \binom{d}{2}$ に等しい。
• $k$ 個の葉をもつ $n$ 頂点の木の中で、部分木数を最大にする極値木は $T_n^k$ であり、その部分木総数は $\frac{n-1}{k}$ の床関数および天井関数を含む閉形式式で与えられる。
• 極値木 $\hat{T}_{n,i}^d$ における葉を含む部分木数が、$\mathscr{S}_{n,d}$ 内の他の任意の木よりも厳密に小さいことが示され、等号が成り立つのは $\hat{T}_{n,i}^d$ のみである。