[論文レビュー] Enumeration and Decidable Properties of Automatic Sequences

Émilie Charlier, Narad Rampersad+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2011

semigroups and automata theory参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$k$-自動列の多数の組合せ的性質——例えば、境界なし要因や回文の存在——が、構造 $\langle\mathbb{N}, +, V_k\rangle$ 上での自動機的および論理的技法を用いて決定可能かつ有効に列挙可能であることを確立する。主な貢献は、関連列（因子数や出現インジケータなど）が $k$-自動列または $k$-正則列であることを示したことである。これは、同様の決定可能性および列挙可能性結果をピゾット数体系へと拡張する。

ABSTRACT

We show that various aspects of k-automatic sequences -- such as having an unbordered factor of length n -- are both decidable and effectively enumerable. As a consequence it follows that many related sequences are either k-automatic or k-regular. These include many sequences previously studied in the literature, such as the recurrence function, the appearance function, and the repetitivity index. We also give some new characterizations of the class of k-regular sequences. Many results extend to other sequences defined in terms of Pisot numeration systems.

研究の動機と目的

• $k$-自動列の基本的組合せ的性質が論理的および自動機的技法を用いて決定可能かどうかを特定すること。
• 長さ $n$ の異なる因子の数といった列挙関数が有効に計算可能であり、$k$-正則列のクラスに属することを示すこと。
• $k$-自動列からピゾット数体系における列挙にまで決定可能性および列挙可能性の結果を拡張すること。
• $\langle\mathbb{N}, +, V_k\rangle$ 上での論理的定義可能性を通じて $k$-正則列の新たな特徴づけを提供すること。
• 再帰性、出現、繰り返し関数に関する先行研究の結果を再発見または改善すること。

提案手法

• $k$-自動列をインデックスの基数 $k$ 表記から計算するための有限オートマトンの使用。
• 加法、比較、および量化子（存在および全称）のシミュレーションといった操作による新しいオートマトンの構築により、論理的述語を符号化すること。
• Büchi の論理的枠組みを用いて、$V_k(n)$ を $n$ を割り切る $k$ の最大のべきと定義する $\langle\mathbb{N}, +, V_k\rangle$ 上で性質を表現すること。
• 複数の入力をオートマトン構築において、逆順の桁表記およびタプル符号化（例：数のペア）を用いること。
• ピゾット系において加法が $U$-認識可能であるという事実を活用し、決定可能性を $U$-自動列へと拡張すること。
• 列挙問題をオートマトン的検証（例：言語の空または有限性）に還元することで、有効な列挙を達成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $n$ の境界なし要因の存在は、$k$-自動列においてアルゴリズム的に決定可能か？
• RQ2 $k$-自動列における長さ $n$ の異なる回文的要因や平方要因の数は、有効に列挙可能であり、$k$-正則列か？
• RQ3 $r$-乗や回文の存在といった性質は、$\langle\mathbb{N}, +, V_k\rangle$ 上で一階論理的定義可能な述語として表現可能か？
• RQ4 $k$-自動列の出現関数および再帰関数は、$k$-正則列のクラスに属するか？
• RQ5 基数 $k$ の体系からピゾット数体系へと、決定可能性および列挙可能性の結果を拡張可能か？

主な発見

• 長さ $n$ の境界なし要因の存在は、$k$-自動列において決定可能であり、対応するインジケータ列は $k$-自動列である。
• 位置 $n$ から始まる異なる境界なし、回文的、または平方要因の数は、ピゾット数体系 $U$ に対して $({{\mathbb{N}}_{\infty}}, U)$-正則である。
• ピゾット系 $U$ における $n$ の非正規表現の数は、$({{\mathbb{N}}_{\infty}}, U)$-正則であり、先行研究のフィボナッチ表現への一般化である。
• $k$-自動列の臨界指数は計算可能であり、先行研究の決定可能性の拡張である。
• 同じ状態数 $q$ をもつ二つの $k$-自動列の間で区別する最短の要因の長さに対する $2^{2^{2^{2q^2}}}$ の上限が確立された。
• 本稿は、モスェ、アローシュら、カリー、ガレル、ファグノー、ブラウンらによる再帰性、出現、繰り返し関数に関する先行研究の結果を再発見し、改善した。