[論文レビュー] Enumeration of edges in some lattices of paths

Luca Ferrari, Emanuele Munarini|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、パス分解と母関数を用いて、Dyck、Motzkin、Schröder、Youngラティスを含むさまざまなラティスパス順序集合のハッセ図における辺の数を数え上げる。任意のYoungラティス $\mathcal{Y}_\lambda$ における辺の数の一般式をコーナーセルの寄与に基づいて導出し、古典的パスラティスのハッセ指数がブールラティスと漸近的に同等であることを証明する。

ABSTRACT

We enumerate the edges in the Hasse diagram of several lattices arising in the combinatorial context of lattice paths. Specifically, we will consider the case of Dyck, Grand Dyck, Motzkin, Grand Motzkin, Schröder and Grand Schröder lattices. Finally, we give a general formula for the number of edges in an arbitrary Young lattice (which can be interpreted in a natural way as a lattice of paths).

研究の動機と目的

• 古典的ラティスパス、すなわちDyck、グランドDyck、Motzkin、グランドMotzキン、Schröder、グランドSchröderパスから生じる分配的ラティスのハッセ図における辺の数を数えること。
• 任意の分割 $\lambda$ に関連する任意のYoungラティス $\mathcal{Y}_\lambda$ のハッセ図における辺の数の一般閉形式式を導出すること。
• これらのラティスにおけるハッセ指数（辺対頂点比）の漸近的挙動を調査し、ブールラティスとの比較を行うこと。
• パス分解技術とDyckラティスにおける飽和鎖の数え上げとの間の関係を生成関数系列を通じて確立すること。

提案手法

• 著者らは、既知の数え上げ列（Catalan数や中心二項係数など）を活用して、古典的パスラティスにおける辺数の生成関数系列をパス分解技術を用いて導出する。
• Youngラティスに関しては、コーナーセルを定義し、各セル $ (i,j) $ に関連する分割 $\lambda_{ij}^{\swarrow}$ および $\lambda_{ij}^{\nearrow}$ を用いてラティスを分解する。
• 辺の数をすべてのコーナーセルおよびそれらに関連する部分ラティスの積の和として数える、重要な公式 $ \ell(\mathcal{Y}_\lambda) = \sum_{(i,j)\in\Phi_\lambda} |\mathcal{Y}_{\lambda_{ij}^{\swarrow}}| \cdot |\mathcal{Y}_{\lambda_{ij}^{\nearrow}}| $ を導出する。
• $ L(m,n) = \mathcal{Y}_{(n,\dots,n)} $ における辺数の生成関数系列は $ \frac{xy}{(1-x-y)^2} $ として計算され、閉形式表現 $ \ell(L(m,n)) = \binom{m+n-1}{n}n $ が得られる。
• ハッセ指数（辺対頂点比）を分析し、すべての古典的パスラティスにおいて、ブールラティスと漸近的に同等であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dyckラティス $\mathcal{D}_n$ のハッセ図における辺の正確な数は何か？
• RQ2 任意の分割 $\lambda$ に対して、任意のYoungラティス $\mathcal{Y}_\lambda$ のハッセ図における辺の数はどのように計算できるか？
• RQ3 DyckラティスやMotzkinラティスなどの古典的パスラティスにおけるハッセ指数（辺対頂点比）の漸近的挙動は何か？
• RQ4 パスラティスのハッセ指数は、ブールラティスのそれとどのように比較できるか？

主な発見

• Youngラティス $ L(m,n) $ のハッセ図における辺の数は、生成関数 $ \frac{xy}{(1-x-y)^2} $ から導かれる $ \ell(L(m,n)) = \binom{m+n-1}{n}n $ で与えられる。
• 任意の分割 $ \lambda $ に対して、$ \mathcal{Y}_\lambda $ における辺の数は、$ \lambda $ のフェルファーダイアグラム内のすべてのセルについての和として $ \sum_{(i,j)\in\Phi_\lambda} |\mathcal{Y}_{\lambda_{ij}^{\swarrow}}| \cdot |\mathcal{Y}_{\lambda_{ij}^{\nearrow}}| $ で与えられる。
• Dyckラティス $ \mathcal{D}_n $ のハッセ指数は、ランク $ n $ のブールラティスのそれと漸近的に同等であり、グランドDyck、Motzkin、グランドMotzkin、Schröder、グランドSchröderラティスに対しても同様のことが成り立つ。
• すべての古典的パスラティスのハッセ指数は、ブールラティスのそれと等しい、または漸近的に同等、あるいは漸近的に準同等である。