[論文レビュー] Enumeration of Hamiltonian Cycles on a Thick Grid Cylinder -- Part II: Contractible Hamiltonian Cycles

Olga Bodroža-Pantić, Harris Kwong+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2021

Cellular Automata and Applications参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、固定された $m$ と増大する $n$ を持つ厚いグリッドシリンダーグラフ $P_{m+1} \times C_n$ における可約可能なハミルトニアンサイクル（HCs）の、新しい双方向グラフに基づく列挙手法を開発する。可約可能な HCs は、内部および外部の木構造（特に固定された上向きルートを持つ分割木）によって特徴付けられ、それらを用いて転送行列を構築し、このようなサイクルの数を計算する。その結果、$m$ が奇数のとき可約可能な HCs が漸近的に優勢であり、$m$ が偶数のとき非可約可能な HCs が優勢であることが明らかになった。

ABSTRACT

In this series of papers, the primary goal is to enumerate Hamiltonian cycles (HC's) on the grid cylinder graphs $P_{m+1} imes C_n$, where $n$ is allowed to grow whilst $m$ is fixed. In Part~I, we studied the so-called non-contractible HC's. Here, in Part~II, we proceed further on to the contractible case. We propose two different novel characterizations of contractible HC's, from which we construct digraphs for enumerating the contractible HC's. Given the impression which the computational data for $m \leq 9$ convey, we conjecture that the asymptotic domination of the contractible HC's versus the non-contractible HC's, among the total number of HC's, depends on the parity of $m$.}

研究の動機と目的

• 固定された $m$ と増大する $n$ を持つ厚いグリッドシリンダーグラフ $P_{m+1} \times C_n$ における可約可能なハミルトニアンサイクル（HCs）の列挙。
• ウィンドウ格子 $W_{m,n}$ における内部および外部の木構造に基づく、可約可能な HCs の2つの新しい特徴付けの開発。
• 領域ベースの符号化（内部または外部）を用いた、効率的な列挙のための転送行列双方向グラフの構築。
• 可約可能と非可約可能な HCs の漸近的支配関係が $m$ の偶奇にどのように依存するかの調査。
• 可約可能な HCs の列挙列 $hc_m(n)$ の支配的特徴根と、$P_{m+1} \times P_n$ における HCs の列挙列 $r_m(n)$ の支配的特徴根との間に深い関係があるという予想の提示。

提案手法

• 可約可能な HCs を、上向きおよび下向きのルートを含む特別な外部木（分割木、ST）および単一ルートを持つ他の外部木（下向きルート木 DT、上向きルート木 UT）によって特徴付ける。
• 有効なウィンドウ配置間の遷移をモデル化するため、内部領域（0でマーク）を双方向グラフ $D^{c,\text{Int}}_m$ を用いて符号化する。
• 外部領域を符号化するための第二の双方向グラフ $D^{c,\text{Ext}}_m$ を構築するが、内部符号化に比べて効率が劣る。
• これらの双方向グラフ上で転送行列法を適用し、可約可能な HCs の数の母関数 $H^c_m(x)$ を計算する。
• 転送行列法を用いて、列挙列 $hc_m(n)$ の再帰関係および支配的特徴根を導出する。
• 内部領域符号化と外部領域符号化の効率を比較し、内部符号化が双方向グラフの頂点数を著しく削減することを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィンドウ格子 $W_{m,n}$ における木構造を用いて、$P_{m+1} \times C_n$ における可約可能なハミルトニアンサイクルを体系的に特徴付ける方法は何か？
• RQ2 $n \to \infty$ のとき、可約可能な HCs の数の漸近的挙動は非可約可能な HCs に対してどのように変化し、$m$ の偶奇に依存するか？
• RQ3 可約可能な HCs の列挙列 $hc_m(n)$ の支配的特徴根は、$P_{m+1} \times P_n$ における HCs の列挙列 $r_m(n)$ の支配的特徴根と関係があるか？
• RQ4 転送行列構築において、なぜ内部領域の符号化が外部領域の符号化よりも効率的なのか？
• RQ5 奇数および偶数の $m$ に対して、$hc_m(n)$ と $r_m(n)$ の成長率の正確な関係は何か？

主な発見

• $m \leq 9$ の範囲で、可約可能な HCs の数 $hc_m(n)$ は支配的特徴根 $\theta_{m,c}$ に漸近的に従い、$m = 6$ の場合、$hc_6(100) \sim 1.3102 \times 10^{89}$ である一方で、非可約可能な HCs の数 $h^c_{6,nc}(100) \sim 9.6071 \times 10^{94}$ であり、$m$ が偶数のとき非可約可能な HCs が支配的であることが示された。
• $m$ が奇数のとき可約可能な HCs が漸近的に優勢であり、$m$ が偶数のとき非可約可能な HCs が優勢であるという、偶奇依存の漸近的二分法が成立する。
• $hc_m(n)$ の支配的特徴根 $\theta_{m,c}$ は、$P_{m+1} \times P_n$ における HCs の列挙列 $r_m(n)$ の支配的特徴根と一致する。$m \leq 6$ で観察され、$m = 7,8,9$ のデータからも裏付けられており、$\theta_{10,c} \sim 37.0376$, $\theta_{11,c} \sim 58.75$, $\theta_{12,c} \sim 81.3666$, $\theta_{13,c} \sim 127.7$ であると予想される。
• 内部領域符号化は外部領域符号化に比べて著しく小さな双方向グラフ（頂点数が少ない）を生成し、計算上の効率が優れている。
• 可約可能な HCs の母関数 $H^c_m(x)$ は、$D^{c,\text{Int}}_m$ および $D^{c,\text{Ext}}_m$ における転送行列を用いて導出され、$m \leq 9$ の場合 $n \geq 23$ に対して正確な列挙が可能となった。
• 本稿は、$m \leq 7$ に対する既存のデータを確認し、$h_m(n)$ の既知の値を $n \geq 23$ まで拡張した。複数の独立した実装による結果は完全に一致した。