[論文レビュー] Enumeration of singular varieties with tangency conditions

Yu-jong Tzeng|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかでない多様体上の滑らかな除ける多様体への指定された接続条件を満たす特異的部分多様体を数えるための代数的コボルディズム枠組みを構築する。正則性の条件下で、このような部分多様体の数がチャーン類不変量の普遍多項式によって支配されることを証明し、セベリ次数、カポラーゾ＝ハリス不変量、ゲーツェの予想、デ・ジョヌイエの公式を、代数的コボルディズム群からべき級数環への生成関数準同型写像によって統一的に一般化する。

ABSTRACT

We construct the algebraic cobordism theory of bundles and divisors on smooth varieties. It has a simple basis (over Q) from projective spaces and its rank is equal to the number of Chern invariants. As an application we study the number of singular subvarieties satisfying given tangent conditions with a fixed smooth divisor, where the subvariety is the zero locus of a section of a vector bundle. We prove that the generating series gives a homomorphism from the algebraic cobordism group to the power series ring. This implies that the number of singular subvarieties with tangency conditions is governed by universal polynomials of Chern numbers, when the vector bundle is sufficiently ample. This result combines and generalizes the Caporaso-Harris and Vakil's recursive formulae, Gottsche's conjecture, De Jonquiere's Formula and relative node polynomials from tropical geometry. In the revised version, we allow the tangency conditions to be at assigned and unassigned points and prove the existence of universal polynomials and a formula for generating series. This completes the most general case of such enumeration of singular varieties for any dimension. We also correct the proof in Section 5, 6 when the divisor D is not irreducible, and Theorem 2.2. Typos are corrected.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上の高次元多様体に、滑らかな除ける多様体への接続条件を満たすカポラーゾ＝ハリス不変量を拡張すること。
• ベクトルバンドルが十分に正則である場合、与えられた接続条件および特異性条件を満たす特異的部分多様体の数が、チャーン不変量の普遍多項式によって支配されることを確立すること。
• 曲線の数え上げに関する散在する結果——セベリ次数、ゲーツェの予想、トロピカル相対的ノード多項式——を、一つの代数的コボルディズム理論的枠組みで統一すること。
• 指定された点および未指定の点における孤立的完遂交差特異点（ICIS）を用いて、接続条件を定義・形式化し、非横断的または期待されない次元の交差を回避すること。

提案手法

• 滑らかな多様体上のベクトルバンドルおよび除ける多様体のための代数的コボルディズム理論を構築し、射影空間を用いてℚ上に基盤を提供する。
• 部分多様体$X$と除ける多様体$D$のスキーム的交差$X \cap D$の特異性型を用いて、接続条件を定義する。
• 生成関数$T_\alpha(Y,D,E)$を、代数的コボルディズム群からべき級数環への準同型写像として導入し、指定された特異性および接続型をもつ部分多様体の数を符号化する。
• ヒルベルト・スキームを用いて、このような部分多様体の数を交差数として表現し、普遍性の証明を可能にする。
• 既知の結果の回復：カポラーゾ＝ハリス不変量、デ・ジョヌイエの公式、$\delta$-ノード曲線の普遍多項式。
• 代数的コボルディズム群の構造を活用し、生成関数の係数が、周囲の多様体に依存しないチャーン数の普遍多項式であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトルバンドルが十分に正則である場合、滑らかな除ける多様体への所定の接続条件を満たす特異的部分多様体の数は、チャーン不変量の普遍多項式として表現可能か？
• RQ2 カポラーゾ＝ハリス不変量、ゲーツェの予想、デ・ジョヌイエの公式は、代数的コボルディズムを通じてどのように統一的枠組みに組み込まれるか？
• RQ3 高次元における接続条件の特徴付けにおいて、孤立的完遂交差特異点（ICIS）の役割は何か？
• RQ4 このような不変量の生成関数は、代数的コボルディズム群からべき級数環への準同型写像をなすか？
• RQ5 例えば、カルラビ＝ヤウ3次元多様体や対数正則多様体において、生成関数に閉形式の表現またはモジュラー型の構造があるか？

主な発見

• 生成関数$T_\alpha(Y,D,E)$は、代数的コボルディズム群からべき級数環への準同型写像であり、不変量の普遍性を証明する。
• ベクトルバンドルが十分に正則である場合、所定の接続および特異性型を満たす特異的部分多様体の数は、チャーン不変量$c_1(E)^n$、$c_1(E)^{n-1}c_1(K_Y)$など、普遍多項式として与えられる。
• この枠組みにより、既知の結果——セベリ次数、ゲーツェの予想、カポラーゾ＝ハリス不変量、デ・ジョヌイエの公式——が特別な場合として回復され、一般化される。
• 生成関数$T_\alpha$の係数は、ヒルベルト・スキーム上の交差数によって決定され、サイクル$Y(\alpha,\beta,\delta)$が高次に特異的であっても成り立つ。
• $\delta \leq 14$の場合、トロピカル幾何とアルゴリズム的手法を用いて、$\delta$-ノード曲線の普遍多項式が計算され、普遍枠組みと整合的である。
• この方法は、ノード特異性を超えて、任意の解析的特異性およびICISとして符号化された接続条件に適用可能である。