[論文レビュー] Enumeration of spin-space groups: Towards a complete description of symmetries of magnetic orders

Yi Jiang, Ziyin Song+6 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2023

Topological Materials and Phenomena参考文献 53被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、空間群の不変部分群と商群の3D実表現からスピン空間群（SSG）を体系的に列挙し、オンラインデータベースと磁性材料におけるSSGを識別するアルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

Symmetries of three-dimensional periodic scalar fields are described by 230 space groups (SGs). Symmetries of three-dimensional periodic (pseudo-) vector fields, however, are described by the spin-space groups (SSGs), which were initially used to describe the symmetries of magnetic orders. In SSGs, the real-space and spin degrees of freedom are unlocked in the sense that an operation could have different spacial and spin rotations. SSGs gives a complete symmetry description of magnetic structures, and have natural applications in the band theory of itinerary electrons in magnetically ordered systems with weak spin-orbit coupling. Altermagnetism, a concept raised recently that belongs to the symmetry-compensated collinear magnetic orders but has non-relativistic spin splitting, is well described by SSGs. Due to the vast number and complicated group structures, SSGs have not yet been systematically enumerated. In this work, we exhaust SSGs based on the invariant subgroups of SGs, with spin operations constructed from three-dimensional (3D) real representations of the quotient groups for the invariant subgroups. For collinear and coplanar magnetic orders, the spin operations can be reduced into lower dimensional real representations. As the number of SSGs is infinite, we only consider SSGs that describe magnetic unit cells up to 12 times crystal unit cells. We obtain 157,289 non-coplanar, 24,788 coplanar-non-collinear, and 1,421 collinear SSGs. The enumerated SSGs are stored in an online database at \url{https://cmpdc.iphy.ac.cn/ssg} with a user-friendly interface. We also develop an algorithm to identify SSG for realistic materials and find SSGs for 1,626 magnetic materials. Our results serve as a solid starting point for further studies of symmetry and topology in magnetically ordered materials.

研究の動機と目的

• 磁気秩序をSSGによって完全な対称性記述で提供する。
• 230空間群の不変部分群と商群表現を活用してSSGを列挙する。
• 公開データベースと実用的なアルゴリズムを提供し、実材料へSSGを割り当てる。

提案手法

• 格子操作とスピン回転の3D実表現を組み合わせた拡張としてスピン空間群を定義する。
• 各空間群Gの不変部分群Hを列挙し、商群Q=G/Hが点群と同型であることを用いて定義する。
• Qの3D実表現を割り当て、G(S)=⊔α{Uα||Rα|tα}Hを用いてSSGを生成する。スピン部UαはO(3)に属する。
• 共線性秩序と平面共線秩序を、それぞれQの1Dまたは2D実表現を用いて扱う。
• 磁気単位胞を結晶単位胞の最大12倍まで restricting して有限のカタログを得る。
• SSGのオンラインデータベースを提供し、材料データベースでSSGを同定するアルゴリズムを開発する。

Figure 1: Illustration of space groups (SGs), magnetic space groups (MSGs), and spin-space groups (SSGs). (a) A $C_{4}$ -symmetric atomic configuration, generated by the SG operation $C_{4}$ . (b) A magnetic order generated by the MSG operation $\{C_{4}||C_{4}\}$ , where the real-space $C_{4}$ is ac

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 230空間群からSSGを網羅的に列挙するにはどうすればよいか。
• RQ2 非共平面、共平面-非共線、共線という異なる磁気秩序型のSSGの構造はどうなるか。
• RQ3 磁気単位胞を計算可能な範囲（≤12×結晶セル）に制限して実用的な有限カタログを作れるか。
• RQ4 決定アルゴリズムを用いて実磁性材料のSSGをどのように同定するか。

主な発見

• 非共平面SSGを157,289個特定した。
• 共平面-非共線SSGを24,788個特定した。
• 共線SSGを1,421個特定した。
• 商群が結晶点群となる特別な場合、12×の制限内で非共平面SSGが68,922個となる。
• 列挙されたSSGのオンラインデータベースをssg（および参照サイト）として開発した。
• Bilbao Crystallographic Server のデータセットなどから1,626の可整合磁性材料に対してSSGを識別するアルゴリズムを適用した。

Figure 2: Flowchart of the algorithm for constructing spin-space groups. We use $\{R_{\alpha}|\bm{t}_{\alpha}\}$ to represent operations in the quotient group $Q$ , where the translation part $\bm{t}_{\alpha}=\bm{\tau}_{\alpha}+\bm{R}_{n}$ is the original translation part $\bm{\tau}_{\alpha}$ associ