[論文レビュー] Enumerative Algorithms for the Shortest and Closest Lattice Vector Problems in Any Norm via M-Ellipsoid Coverings

Daniel Dadush, Chris Peikert+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 46被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、M-楕円体被覆を用いて格子点列挙を有限個の構造的である部分問題に還元することで、任意のノルムにおける正確な最短ベクトル問題（SVP）および最近接ベクトル問題（CVP）の決定的2^O(n)-時間アルゴリズムを提示する。この手法は、先行のスイーブアルゴリズムの確率的性質を除去し、最近のℓ2-ノルムSVPアルゴリズムを活用する。ℓpなどの主要なノルムに対しては、ノルム固有の助言を2^O(n)時間で計算可能である。

ABSTRACT

We give an algorithm for solving the exact Shortest Vector Problem in n-dimensional lattices, in any norm, in deterministic 2 O(n) time (and space), given poly(n)-sized advice that depends only on the norm. In many norms of interest, including all ℓp norms, the advice is efficiently and deterministically computable, and in general we give a randomized algorithm to compute it in expected 2 O(n) time. We also give an algorithm for solving the exact Closest Vector Problem in 2 O(n) time and space, when the target point is within any constant factor of the minimum distance of the lattice. Our approach may be seen as a derandomization of ‘sieve ’ algorithms for exact SVP and CVP (Ajtai, Kumar, and Sivakumar; STOC 2001 and CCC 2002), and uses as a crucial subroutine the recent deterministic algorithm of Micciancio and Voulgaris (STOC 2010) for lattice problems in the ℓ2 norm. Our main technique is to reduce the enumeration of lattice points in an arbitrary convex body K to enumeration in 2 O(n) copies of an M-ellipsoid of K, a classical concept in asymptotic convex geometry. Building on the techniques of Klartag (Geometric and Functional Analysis, 2006), we also give an expected 2 O(n)-time algorithm to compute an M-ellipsoid covering of any convex body, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 任意のノルムにおける正確な最短ベクトル問題（SVP）を2^O(n)時間および2^O(n)空間で解く決定的アルゴリズムの開発。
• この手法を、格子の最小距離の定数倍以内に位置するターゲットを持つ最近接ベクトル問題（CVP）に拡張すること。
• Ajtai, Kumar, および SivakumarのSVPおよびCVPの確率的スイーブアルゴリズムに対する決定的代替手法の提供。
• ℓpなどの一般的なノルムに対して、ノルム固有の助言を効率的に計算可能であることを保証し、実用的妥当性を確保すること。
• 任意の凸体における格子点列挙を有界な部分問題に還元する一般枠組みを確立すること。M-楕円体被覆に基づくものである。

提案手法

• 幾何的被覆技術を活用して、任意の凸体Kにおける格子点列挙問題を、KのM-楕円体の2^O(n)個のコピーにおける点列挙に還元する。
• M-楕円体を元の凸体の対称的かつ良好に丸みを帯びた近似として用い、部分問題の数を単純化および有界化する。
• M-楕円体構造内の部分問題を解くためのコアサブルーチンとして、MicciancioおよびVoulgarisの決定的ℓ2-ノルムSVPアルゴリズムを適用する。
• Klartagの漸近的凸幾何学的手法に基づき、期待2^O(n)時間で動作する確率的アルゴリズムを用いて、任意の凸体のM-楕円体被覆を構築する。
• ℓpノルムおよびその他の一般的なノルムに対して、ノルム固有の助言を2^O(n)時間で決定的に計算し、主アルゴリズムの効率的適用を可能にする。
• M-楕円体被覆による構造的列挙に確率的サンプリングを置き換えることで、スイーブアプローチを決定的化し、時間計算量の上限を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SVPおよびCVPは、ℓ2以外のノルムに対しても決定的2^O(n)時間で解けるか？
• RQ2 M-楕円体被覆は、任意の凸体における格子点列挙の複雑さをどのように低減できるか？
• RQ3 このアルゴリズムに必要なノルム固有の助言の生成コストは何か？また、ℓpなどの一般的なノルムに対しては効率的に計算可能か？
• RQ4 確率的アルゴリズムは、任意の凸体に対して期待2^O(n)時間でM-楕円体被覆を計算可能か？
• RQ5 幾何的被覆構造を用いて、SVPおよびCVPに対する元来の確率的スイーブアプローチをどの程度まで決定的化できるか？

主な発見

• 本稿では、任意のノルムにおける正確な最短ベクトル問題（SVP）に対して、決定的2^O(n)-時間アルゴリズムを達成し、空間計算量も2^O(n)で有界である。
• 最近接ベクトル問題（CVP）については、ターゲットが格子の最小距離の定数倍以内にある場合、2^O(n)時間および2^O(n)空間で実行可能である。
• 本アルゴリズムに必要なノルム固有の助言は、すべてのℓpノルムおよびその他の一般的なノルムに対して2^O(n)時間で計算可能であり、実用的導入を可能にする。
• 任意の凸体のM-楕円体被覆を計算するための期待2^O(n)-時間の確率的アルゴリズムが提供されており、凸幾何学において独立した関心を引く可能性がある。
• Ajtai, Kumar, および Sivakumarの元来のスイーブアルゴリズムは、M-楕円体被覆による構造的列挙に確率的サンプリングを置き換えることで、成功裏に決定的化された。
• M-楕円体の使用により、部分問題の数が2^O(n)に制限され、全体の時間計算量が提示された境界内に保たれることが保証された。