[論文レビュー] Enumerative geometry of hyperelliptic plane curves

Tom Graber|ArXiv.org|Aug 18, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、平面の Hilbert 構造 $H$ 上の genus 0 Gromov-Witten 不変量との関係を用いて、$\mathbb{P}^2$ 内の一般の $3d+1$ 点を通る次数 $d$ で genus $g$ の超楕円平面曲線の個数を数える再帰的アルゴリズムを開発する。主な貢献は、Gromov-Witten 不変量 $I(d,g)$ と個数の個数 $E(d,h)$ の間の公式 $I(d,g) = \sum_{h \geq g} \binom{2h+2}{h-g} E(d,h)$ を得ることであり、これにより有理曲線理論を用いて古典的な個数不変量を効果的に計算可能となる。

ABSTRACT

We recursively compute the Gromov-Witten invariants of the Hilbert scheme of two points in the plane. By studying the space of stable maps and computing virtual contributions, we use these invariants to enumerate hyperelliptic plane curves of degree d and genus g passing through 3d+1 general points.

研究の動機と目的

• 現代の Gromov-Witten 理論を用いて、超楕円平面曲線に関する古典的個数問題を解くこと。
• Hilbert 構造 $H$ との対応を通じて、高 genus の超楕円曲線の個数を有理曲線に関する問題に還元すること。
• Hilbert 構造 $H$ 上の Gromov-Witten 不変量と、一般の点を通る超楕円曲線の実際の個数との間の閉形式の公式を導出すること。
• 計算された不変量と量子積の関係を用いて、$H$ の小量子コホモロジー環を明示的に提示すること。

提案手法

• 超楕円対合を用いて、$\mathbb{P}^2$ 内の超楕円曲線と Hilbert 構造 $H = H(2,\mathbb{P}^2)$ 内の有理曲線との間の対応を確立する。
• 曲線が点を通ることのインシデント条件を、$H$ 内の点 $p$ に接続する部分スキームのサイクル $\Gamma(p)$ との交差としてモデル化する。
• H 上の genus 0 Gromov-Witten 不変量を用いて個数を計算し、写像のモジュライ空間内に生じる余分な成分を補正する。
• 変形理論を用いて非超楕円成分からの寄与を分離し、$\mathbb{P}^2$ の blowup 上の曲線個数と関連付ける。
• 鍵となる公式 $I(d,g) = \sum_{h \geq g} \binom{2h+2}{h-g} E(d,h)$ を導出する。ここで $I(d,g)$ は Gromov-Witten 不変量、$E(d,h)$ は個数の個数である。
• Gromov-Witten 不変量の形式的性質を用いて、$I(d,g)$ を再帰的に計算するアルゴリズムを構築し、結果として $E(d,g)$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面の2点の Hilbert 構造 $H$ 上の Gromov-Witten 理論は、超楕円曲線に関する古典的個数問題をどのように解けるか？
• RQ2 H の Gromov-Witten 不変量と、$3d+1$ 個の一般の点を通る次数 $d$ で genus $g$ の超楕円平面曲線の個数との間の明確な関係は何か？
• RQ3 計算された不変量と量子積構造を用いて、$H$ の小量子コホモロジー環を明示的に提示できるか？
• RQ4 写像のモジュライ空間内に生じる余分な成分はどのように特定され、それらの不変量への寄与はどのように分離できるか？

主な発見

• 公式 $I(d,g) = \sum_{h \geq g} \binom{2h+2}{h-g} E(d,h)$ により、Gromov-Witten 不変量 $I(d,g)$ から個数 $E(d,g)$ を直接逆算できる。
• アルゴリズムにより $E(d,g)$ は $I(d,g)$ を再帰的に計算し、$g=0$ および $g=1$ の場合の値は Kontsevich の公式および Getzler の計算と一致する。
• 本アルゴリズムにより得られた genus 1 Severi 度 $E^{1}(d,1)$ は既知の結果と一致しており、例として $E_{1,6} = 57435240$ が得られ、従来の方法と整合性を確認している。
• H の小量子コホモロジー環は、$f = q_1/(1 - q_1)$ として、$T_1*T_1*T_1 = 9f^2 T_1*T_2*T_2 - (9f^2 - 2f)T_2*T_2*T_2 + q_1q_2(q_1 - 1)$ のような形式的べき級数における関係式を用いて明示的に提示されている。
• H 内の除数の量子積は明示的に計算されており、$T_1*T_1 = (1 - 3f)T_3 + 3fT_5$ のような結果が得られ、古典的コホモロジーからの変形が明らかになっている。
• 量子コホモロジーの関係式は分母を払って多項式関係にできるが、生成子 $T_i$ は除法的環上に存在するため、除数の多項式環上にはない。