[論文レビュー] Enumerative geometry via the moduli space of super Riemann surfaces

Paul Norbury|arXiv (Cornell University)|May 9, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、超双曲的表面のモジュライ空間の体積と、安定リーマン面のモジュライ空間上のコhomology類の間の関係を確立し、代数幾何学的手法を用いて、以前に超幾何的技法によって得られた超体積の再帰的関係を証明する。主な結果は、クラス $\Theta_{g,n}$ とタウトロジカルクラスの交差数の母関数が、ミルザハニのコンツェビッチ＝ウイッテン定理の証明に類似したKdVタウ関数であることを示している。

ABSTRACT

In this paper we relate volumes of moduli spaces of super Riemann surfaces to integrals over the moduli space of stable Riemann surfaces $\overline{\cal M}_{g,n}$. This allows us to prove via algebraic geometry a recursion between the volumes of moduli spaces of super hyperbolic surfaces previously proven via super geometry techniques by Stanford and Witten. The recursion between the volumes of moduli spaces of super hyperbolic surfaces is proven to be equivalent to the fact that a generating function for the intersection numbers of a natural collection of cohomology classes $Θ_{g,n}$ with tautological classes on $\overline{\cal M}_{g,n}$ is a KdV tau function. This is analogous to Mirzakhani's proof of the Kontsevich-Witten theorem regarding a generating function for the intersection numbers of tautological classes on $\overline{\cal M}_{g,n}$ using volumes of moduli spaces of hyperbolic surfaces.

研究の動機と目的

• スタンフォードとウィッテンによる超幾何学的手法で以前に確立された、超双曲的表面のモジュライ空間体積の再帰的関係に対する代数的幾何学的証明を提供すること。
• これらの超体積を、モジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のコhomologyクラス $\Theta_{g,n}$ と関連づけ、ヴォルプトの結果およびミルザハニの結果を超対称の場合に拡張すること。
• クラス $\Theta_{g,n}$ とタウトロジカルクラスの交差数の母関数がKdVタウ関数であることを示し、コンツェビッチ＝ウイッテン定理との深い類似性を確立すること。

提案手法

• 超双曲的表面の体積を、クラス $\Theta_{g,n}$ およびタウトロジカルクラス $\kappa_1$ と $\psi_i$ を含む $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上の積分として表現する。
• 体積多項式 $V^\Theta_{g,n}(L_1,\dots,L_n) = \int_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}} \Theta_{g,n} \cdot \exp\left\{2\pi^2\kappa_1 + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n L_i^2\psi_i\right\}$ を用いて、体積を符号化する。
• 円錐角 $\phi$ を虚数長 $i\phi$ として解釈した一般化されたMcShaneの公式を用い、再帰的関係を導出する。
• バンドル $E_{g,n}$ のオイラー形式とそのコhomological性質を用い、超リーマン面の変形理論を交差理論と関連付ける。
• $V^\Theta_{g,n+1}(2\pi i, L_1, \dots, L_n) = (2g-2+n)V^\Theta_{g,n}(L_1, \dots, L_n)$ という恒等式を用い、微分を含まない再帰的関係を導出する。
• 次数が $n$ より小さい対称多項式が、1つの変数での評価によって一意に定まることを活用し、体積の再帰的再構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超幾何学的手法ではなく代数幾何学的手法を用いて、超双曲的表面の体積の再帰的関係をどのように導出できるか？
• RQ2 超体積の積分の正確なコhomological解釈は、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のクラスとしてどのように表現されるか？
• RQ3 $\Theta_{g,n}$ とタウトロジカルクラスの交差数の母関数は、古典的ケースと同様にKdVタウ関数であるか？
• RQ4 ミルザハニの再帰的関係に類似した、$L_i = 2\pi i$ を含む関数方程式から、超体積の再帰的関係を導出できるか？
• RQ5 Weil-Petersson体積とは異なり、超体積の再帰的関係に微分が存在しないことは、より深い構造的差異を示唆するか？

主な発見

• 再帰的関係 $V^\Theta_{g,n+1}(2\pi i, L_1, \dots, L_n) = (2g-2+n)V^\Theta_{g,n}(L_1, \dots, L_n)$ が成り立ち、超体積再帰的関係の直接的な代数的導出が可能である。
• $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上の $\Theta_{g,n}$ とタウトロジカルクラスの交差数の母関数がKdVタウ関数であることが示され、コンツェビッチ＝ウイッテン定理との深い類似性が確立された。
• 超体積 $V^{SW}_{g,0} = 2^{1-g}V^\Theta_{g,0}$ は、$V^\Theta_{g,1}(2\pi i) = (2g-2)V^\Theta_{g,0}$ によって決定され、$n=0$ の場合が再帰的関係から回復可能であることが示された。
• $n < g-1$ の場合、体積多項式 $V^\Theta_{g,n}$ は再帰式 (94) を用いて $V^\Theta_{g,g-1}$ から決定可能であり、再帰的構成が可能である。
• $n \geq g$ の場合、$L_i^2$ における次数 $g-1$ の対称多項式 $V^\Theta_{g,n}$ は、$L_n = 2\pi i$ での値によって一意に定まり、この値は再帰的関係により $V^\Theta_{g,n-1}$ と関連づけられる。
• 超体積再帰的関係に微分が存在しないのに対し、Weil-Peterssonの場合には $\partial V^{WP}_{g,n+1}/\partial L_{n+1}(\dots, 2\pi i) = 2\pi i(2g-2+n)V^{WP}_{g,n}$ が成り立つため、異なる構造的性質を示唆している。