[論文レビュー] Enumerative properties of Grid-Associahedra

Alexander Garver, Thomas McConville|arXiv (Cornell University)|May 13, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、グリッド型の非キッスング複体に対してチャポトンのF-、H-、M-三角形の類似物を確立することでグリッド・カタラン組合せ論を導入し、F-三角形とH-三角形の間の恒等式を証明し、F-三角形とM-三角形の類似恒等式を予想する。この対象物について、組合せ論的・格子論的・幾何学的解釈を提供し、完全なファン実現（グリッド・アソシアヒーデロン・ファン）を構成し、非キッスング複体と非交叉複体のファセットの間の双対写像を確立する。

ABSTRACT

We continue the study of the nonkissing complex that was introduced by Petersen, Pylyavskyy, and Speyer and was studied lattice-theoretically by the second author. We introduce a theory of Grid-Catalan combinatorics, given the initial data of a nonkissing complex, and show how this theory parallels the well-known Coxeter-Catalan combinatorics. In particular, we present analogues of Chapoton's F-triangle, H-triangle, and M-triangle and give combinatorial, lattice-theoretic, and geometric interpretations of the objects defining these. In our Grid-Catalan setting, we prove that Chapoton's F-triangle and H-triangle identity holds, and we conjecture that Chapoton's F-triangle and M-triangle identity also holds. As an application, we obtain a bijection between the facets of the nonkissing complex and of the noncrossing complex, which provides a partial solution to an open problem of Santos, Stump, and Welker.

研究の動機と目的

• コクセター・カタラン組合せ論に類似したグリッド・カタラン組合せ論の枠組みを構築すること。
• グリッド型の非キッスング複体の文脈において、F-、H-、M-三角形を定義し解釈すること。
• 非キッスング複体と非交叉複体のファセットの間の双対写像を確立し、サントス、シュタルプ、ウェルカーによる未解決問題に部分的解決を与えること。
• F-、H-、M-三角形の組合せ論的・格子論的・幾何学的解釈を提供すること。
• F-三角形とH-三角形の間の恒等式を証明し、F-三角形とM-三角形の類似恒等式を予想し、タイプAにおけるチャポトンの結果を模倣すること。

提案手法

• グリッド型λ内の向き付きパスに沿った、下方向および右方向に向き付けられた辺を持つ純粋な単体的複体として非キッスング複体を定義する。
• 非キッスング複体の完全ファン実現としてグリッド・アソシアヒーデロン・ファンを構成し、それが多面体の正規ファンであると予想する。
• 階数生成多項式が非キッスング複体のh-多項式に一致する、階数付き格子Ψf(λ)としてシャーブ・インターセクション順序を導入する。
• F-三角形を非キッスング複体の面数を符号化する2変数多項式として定義し、H-三角形を高さ加重面数として定義し、M-三角形をシャーブ・インターセクション順序上のモービウス関数の和として定義する。
• 組合せ論的・格子論的・幾何学的解釈を用いて、異なる構造間で3つの三角形を統合する。
• 複体内のリンクの分解と変数変換を用いて、F-三角形とH-三角形の恒等式F(x, y) = H(x+1, y+1)を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャポトンのF-、H-、M-三角形は、グリッド型の非キッスング複体にどのように一般化できるか？
• RQ2 グリッド・カタラン設定におけるF-、H-、M-三角形の組合せ論的・格子論的・幾何学的意味は何か？
• RQ3 F(x, y) = H(x+1, y+1)という恒等式はグリッド・カタラン設定で成り立ち、F-三角形とM-三角形の間にも同様の恒等式が拡張可能か？
• RQ4 この枠組みにおいて、非キッスング複体と非交叉複体のファセットの間に自然な双対写像が存在するか？
• RQ5 シャーブ・インターセクション順序Ψf(λ)を用いて、コクセター・カタラン対象を模倣する精緻な数え上げ構造を定義できるか？

主な発見

• F(x, y) = H(x+1, y+1)という恒等式は、グリッド・カタラン設定においてF-三角形とH-三角形の間で成り立ち、タイプAにおけるチャポトンの結果を一般化する。
• 3×4の長方形形状に対して、F-三角形は上段が(1,0,0,0,0,0,0)で下段が(98,154,121,60,22,6,1)である7×7の下三角行列である。
• 3×4の長方形形状のH-三角形は、h_{ij}が7×7の行列をなす。ここでh_{66}=1、h_{60}=0、h_{55}=6、h_{50}=0である。
• 3×4の長方形形状のM-三角形は7×7の行列であり、m_{66}=1、m_{60}=0であり、下段は(98,-371,548,-395,141,-22,1)である。
• 3×4の長方形とその部分グラフに対して、予想された恒等式M(−x,−y/x) = (1−y)^r F((x+y)/(1−y), y/(1−y))がSageを用いて検証され、成り立つ。
• 非キッスング複体と非交叉複体のファセットの間の双対写像が確立され、サントス、シュタルプ、ウェルカーによる未解決問題に対する部分的解決が得られた。