[論文レビュー] Envelope Algebras of Partial Actions as Groupoid C*-Algebras

R. Exel, Thierry Giordano+1 more|ArXiv.org|Jun 19, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、可算離散群による局所コンパクト空間上の部分作用の包あらわしC*-代数——特にカントール集合上のℤの部分作用——が、同値関係から生じる群族C*-代数として実現可能であることを確立する。この記述を用いて、著者らは、（部分作用がグローバル作用の制限として生じるという）弱い条件下で、包あらわしC*-代数がAF代数であることを証明し、包あらわし空間がハウスドルフとなるような部分作用の完全な特徴付けを提供する。

ABSTRACT

We describe the envelope C*-algebra associated to a partial action of a countable discrete group on a locally compact space as a groupoid C*-algebra (more precisely as a C*-algebra from an equivalence relation) and we use our approach to show that, for a large class of partial actions of Z on the Cantor set, the envelope C*-algebra is an AF-algebra. We also completely characterize partial actions of a countable discrete group on a compact space such that the envelope action acts in a Hausdorff space.

研究の動機と目的

• 可算離散群による局所コンパクト空間上の部分作用の包あらわしC*-代数を、群族C*-代数として記述すること。
• 包あらわし空間がハウスドルフとなるようなコンパクト空間上の部分作用を特徴付けること。
• カントール集合上のℤの部分作用の広範なクラスに対して、包あらわしC*-代数がAF代数であることを示すこと。
• 同値関係と群族C*-代数を用いて、ハウスドルフおよび非ハウスドルフの両方の包あらわし空間に適用可能な統一的な枠組みを提供すること。

提案手法

• 包あらわしC*-代数は、部分作用によって誘導される同値関係と関連する帰納的群族C*-代数として構成される。
• 同値関係Rは、各々が閉包部分集合上の部分作用に対応する、可算な増大列の部分同値関係R_kに分解される。
• R上の帰納的位相が積位相と一致することが示され、C_r^*(R)がC_r^*(R_k)の帰納的極限として同定可能であることが保証される。
• 各R_kが近似的に正則であることが示され、AF代数の局所的特徴付けを用いて、C_r^*(R_k)がAF代数であることが証明される。
• 帰納的極限においてAF性質が保たれるため、C_r^*(R)がAF代数であることが示される。
• この構成は、カントール集合が完全に非連結であり、部分作用の定義域を exhaustion する閉包部分集合の増大列を許容することに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤのカントール集合上の部分作用の包あらわしC*-代数がAF代数であるのはどのような条件下か？
• RQ2 包あらわし空間が非ハウスドルフであっても、部分作用の包あらわしC*-代数を群族C*-代数としてどのように記述できるか？
• RQ3 可算離散群のコンパクト空間上での部分作用において、包あらわし空間がハウスドルフとなるのはどのような特徴か？
• RQ4 カントール集合上の部分作用の文脈において、包あらわしC*-代数がAF代数の帰納的極限として実現可能か？
• RQ5 部分作用がカントール集合上で誘導する同値関係の帰納的群族C*-代数が、弱い仮定のもとで常にAF代数か？

主な発見

• 部分作用がグローバル作用の制限として生じる場合、ℤのカントール集合上の部分作用の包あらわしC*-代数はAF代数である。
• 包あらわしC*-代数は、ℤ × X 上の同値関係 R の帰納的群族C*-代数に同型である。
• 同値関係 R が近似的に正則であることが示され、C*-代数がC_r^*(R_k)の帰納的極限として表現可能である。
• R 上の帰納的位相は積位相と一致し、C*-代数の構造が適切に保たれる。
• 各 R_k はAF同値関係であるため、C_r^*(R_k) はAF C*-代数であり、帰納的極限はAF性質を保つ。
• 本稿は、包あらわし空間がハウスドルフとなるようなコンパクト空間上の部分作用の完全な特徴付けを提供する。