[論文レビュー] Envelope Words and the Reflexivity of the Return Word Sequences in the Period-doubling Sequence

Yuke Huang, Zhi-Ying Wen|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

semigroups and automata theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、周期2倍列 $Δ$ におけるカーネル語技法の失敗を克服するため、エンvelope語の概念を導入する。任意の因子のリターン語列が $Θ_1$ または $Θ_2$ であることを証明し、リフレクシビティ（自己同一性）の性質を確立する。これにより、リターン語列の完全な特徴付けが可能となり、スペクトルに基づく新手法を用いて、平方や立方の検出といった組合せ論的問題を解けるようになる。

ABSTRACT

We consider the infinite one-sided sequence over alphabet $\{a,b\}$ generated by the period-doubling substitution $σ(a)=ab$ and $σ(b)=aa$, denoted by $\mathbb{D}$. Let $r_p(ω)$ be the $p$-th return word of factor $ω$. The main result of this paper is twofold. (1) For any factor $ω$ in $\mathbb{D}$, the return word sequence $\{r_p(ω)\}_{p\geq1}$ is $Θ_1$ or $Θ_2$. Both of them are substitutive sequences and determined completely in this paper. (2) For any factor $ω$ in $Θ_1$ (resp. $Θ_2$), the return word sequence $\{r_p(ω)\}_{p\geq1}$ is still $Θ_1$ or $Θ_2$. We call it the reflexivity property of the return word sequence. As an application, we introduce a notion of spectrum for studying some typical combinatorial properties, such as separated, adjacent and overlapped.

研究の動機と目的

• 周期2倍列にカーネル語構造が存在しないことによる、標準的なリターン語解析の限界を解消すること。
• Δにおけるリターン語列を特徴付けるために、エンvelope語を用いた新しい枠組みを構築すること。
• リフレクシビティの性質を確立すること：Δにおける任意の因子のリターン語列は、自身が $Θ_1$ または $Θ_2$ である。
• この構造を応用し、因子の隣接・分離・重なりの出現を検出する組合せ論的問題を解くこと。
• 因子の出現位置を同時に分析できるスペクトルに基づく手法を導入し、Q1（性質の存在）に加え、Q2（位置に依存する性質）の解法を可能にすること。

提案手法

• エンvelope語 $E^1_m = A_m\delta_m^{-1}$ および $E^2_m = B_m B_{m-1} \delta_m^{-1}$ を定義する。これらは奇数長の因子であり、リターン語の構造を捉える。
• エンvelope拡張の一意性を証明し、Δにおける失敗したカーネル分解の代わりに用いる。
• $\tau_1(a)=a, \tau_1(b)=bb$ および $\tau_2(a)=ab, \tau_2(b)=acac$ による置換 $\tau_1$ と $\tau_2$ を用いて、$\Theta_1 = \tau_1(\u0394)$ および $\Theta_2 = \tau_2(\u0394)$ を定義し、これらがリターン語列であることを示す。
• $\Theta_1$ および $\Theta_2$ の構造を用いて、リターン語の長さ $|r_p(\omega)|$ を決定する：$\Theta_1$ や $\Theta_2$ の位置 $p$ における記号に依存する。
• 性質 $\mathcal{P}$ のスペクトルを導入し、因子 $\omega$ とその出現位置 $p$ の両方を分析することで、Q2（位置に依存する性質）の解法を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期2倍列 $\u0394$ における任意の因子 $\omega$ のリターン語列は何か？
• RQ2 $\u0394$ における因子 $\omega$ のリターン語列は、置換列として特徴付けられるか？
• RQ3 $\u0394$ における因子 $\omega$ のリターン語列は、同じ構造的タイプ（$\Theta_1$ または $\Theta_2$）を保つのか、すなわちリフレクシビティが成立するか？
• RQ4 リターン語列の構造を用いて、因子の2つの出現が隣接・分離・重なりのいずれであるかを特定するにはどうすればよいか？
• RQ5 因子とその出現位置を同時に分析できるスペクトルに基づく手法を構築できるか。これにより、組合せ論的言語学におけるQ2（位置に依存する性質）を解けるか？

主な発見

• 任意の $\u0394$ 内の因子 $\omega$ に対して、リターン語列 $\{r_p(\omega)\}_{p \geq 1}$ は $Θ_1$ または $Θ_2$ であり、明示的な置換によって定義される置換列である。
• $\Theta_1$ や $\Theta_2$ 内の任意の因子のリターン語列は再び $\Theta_1$ または $\Theta_2$ であるため、リターン語列のリフレクシビティ（自己同一性）の性質が確立される。
• $p$ 番目のリターン語の長さ $|r_p(\omega)|$ は、$\Theta_1$ や $\Theta_2$ の位置 $p$ における記号に依存する：$\Theta_1[p] = a$ ならば $|r_p(\omega)| = 2^m$、$\Theta_1[p] = b$ ならば $2^{m-1}$ であり、同様に $\Theta_2$ に対しても成り立つ。
• 分離・隣接・重なりの性質のスペクトルは完全に特徴付けられている：$(\omega,p) \in \mathcal{P}_1$（分離）であるための必要十分条件は、$\text{Env}(\omega) = E^1_m$ かつ $\Theta_1[p] = a$、または $\text{Env}(\omega) = E^1_m$、$\Theta_1[p] = b$ かつ $|\omega| < 2^{m-1}$、または $\text{Env}(\omega) = E^2_m$ かつ $\Theta_2[p] \neq a$ である。
• 隣接出現のスペクトル $(\omega,p) \in \mathcal{P}_2$ が成立するのは、$\text{Env}(\omega) = E^1_m$ かつ $|\omega| = 2^{m-1}$ のときに限る。
• 重なり出現のスペクトル $(\omega,p) \in \mathcal{P}_3$ が成立するのは、$\text{Env}(\omega) = E^1_m$ かつ $|\omega| > 2^{m-1}$、または $\text{Env}(\omega) = E^2_m$ かつ $\Theta_2[p] = a$ のときである。