[論文レビュー] Environment tensor as order parameter for symmetry breaking and (symmetry-protected) topological orders

Fangzhou Liu, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Scientific Research and Discoveries被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、量子多体系における対称性破れおよびトポロジカル（対称性保護トポロジカルを含む）相転移を検出するための新しい秩序パラメータとして、環境テンソルを導入する。テンソルネットワーク上での単純な反復手順を用いることで、環境行列の対称性構造の急激な変化を通じて相転移を特定する。計算コストを最小限に抑えつつ、ラップトップ上で数分で量子モンテカルロのベンチマークと数パーセント以内の精度で結果を得られる。

ABSTRACT

Spontaneous symmetry breaking is well understood through the classical "Mexican Hat" picture, which describes many quantum phases of matter. Recently, several new classes of quantum phases of matter, such as topological orders and symmetry protected topological (SPT) orders, were discovered. In an attempt to address the transitions between all those phases of quantum matter under the same framework, we introduced an analogous yet very simple picture for phase transitions in the context of tensor-networks. Using a very simple iteration process, we found that both symmetry breaking and some topological phase transitions (for topological orders described by gauge theory and 1D SPT orders) could be marked by a sudden change in the symmetry structure of the so-called "environment matrix". In this process, the environment matrix serves as an "order parameter" that captures patterns of entanglement in topological phases. The symmetry change in the environment matrix is very much like the symmetry breaking of conventional order parameters. We applied this method to both the transverse Ising model (1D and 2D honeycomb), spin-1 model (1D), and the Toric Code model in a magnetic field (2D honeycomb), and explored the corresponding symmetry structure changes in their environment matrices in details. With just a few variational parameters and a few minutes' run time on a laptop, we could get the corresponding phase transition points within a few percent error compared with the Quantum Monte Carlo results.

研究の動機と目的

• 量子物質における対称性破れ、トポロジカル、SPT秩序の相転移を統一的な枠組みで同定すること。
• 局所的秩序パラメータが、トポロジカル不変量のグローバル性のため失敗するという、非局所的トポロジカル秩序の検出の課題を克服すること。
• 完全なレノルミズェーション群フローを必要としない、トポロジカルおよびSPT秩序を一般のテンソルネットワーク波動関数から数値的に効率的に検出する方法を提供すること。
• 2次元系、特にフラストレーションやトポロジカル秩序を持つモデル（磁場付きトーリックコードなど）への環境テンソル手法の一般化。
• 行列積状態波動関数から、環境行列の対称性構造を用いてSPT相を直接同定すること。

提案手法

• 遠く離れたサイトからの長距離もつれ効果を捉える環境行列を計算するため、テンソルネットワーク上での変分的反復プロセスを用いる。
• 1次元および2次元の両方で、自己整合的反復スキームを用いて環境行列を計算し、非対称テンソルネットワークには3段階のサイクル的プロセスを適用する。
• 1次元でSPT秩序を調べるために、反復ループ内に対称性群要素（例：Z2 × Z2）を挿入するねじれ反復手順を適用する。
• 得られた環境行列の対称性構造を診断ツールとして用いる：異なる対称性が異なる相に対応する。
• 1次元横磁場イジング模型およびスピン1模型、2次元ヘキサゴナル格子模型（磁場付きトーリックコードを含む）にこの手法を適用する。
• 環境行列を用いて変分エネルギーを効率的に計算し、基底状態エネルギーの最小化および相境界の同定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環境行列の対称性構造は、トポロジカルおよびSPT秩序を含む量子相を分類する普遍的な秩序パラメータとして機能するか？
• RQ2 局所的テンソルネットワークデータのみを用いて、トポロジカル秩序および対称性保護トポロジカル秩序の相転移をどのように検出できるか？
• RQ3 環境テンソル法は、量子モンテカルロなどの既存手法と比較して、最小限の計算コストで既知の相転移点をどの程度正確に再現できるか？
• RQ4 精度や安定性を損なわず、2次元および回転対称性のないテンソルネットワークに一般化可能か？
• RQ5 ねじれ反復プロセスは、行列積状態波動関数からSPT秩序をどのように検出可能にするか？

主な発見

• 環境行列は、相転移において対称性構造が急激に変化し、対称性破れおよびトポロジカル転移の強力な指標として機能する。
• 1次元横磁場イジング模型では、量子相転移点を、量子モンテカルロ結果と比較して3%未満の誤差で正しく同定する。
• 2次元ヘキサゴナル格子横磁場イジング模型では、わずか数個の変分パラメータと数分の計算で、相境界を正確に特定できる。
• 磁場付きトーリックコードの環境行列は、トポロジカル相と自明なパラメグネティック相を区別する明確な対称性パターンを示す。
• ねじれ反復プロセスにより、対称性挿入下でのスケーリング係数の比較を通じて、1次元でSPT相を効果的に同定でき、MPS波動関数から直接SPT秩序を検出可能である。
• 計算コストを最小限に抑えつつ、QMCと数パーセント以内の高精度を達成しており、3次元系を含む高次元系への適用可能性も示している。