[論文レビュー] Epistemology as Information Theory: From Leibniz to Omega

Gregory J. Chaitin|ArXiv.org|Jun 27, 2005

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 9被引用数 39

ひとこと要約

本論文は、宇宙が根本的に計算的であるというデジタル哲学の枠組みを提案する。知識と数学的真実をアルゴリズム的情報理論に基づいて定義し、意味のある理論はデータを圧縮する必要があると主張する。これにより、アルゴリズム的に還元不能な数学的事実—チャイチンの停止確率Ωを例に挙げて、数学的知識と創造性の根本的な限界を示す。

ABSTRACT

In 1686 in his Discours de Metaphysique, Leibniz points out that if an arbitrarily complex theory is permitted then the notion of "theory" becomes vacuous because there is always a theory. This idea is developed in the modern theory of algorithmic information, which deals with the size of computer programs and provides a new view of Godel's work on incompleteness and Turing's work on uncomputability. Of particular interest is the halting probability Omega, whose bits are irreducible, i.e., maximally unknowable mathematical facts. More generally, these ideas constitute a kind of "digital philosophy" related to recent attempts of Edward Fredkin, Stephen Wolfram and others to view the world as a giant computer. There are also connections with recent "digital physics" speculations that the universe might actually be discrete, not continuous. This systeme du monde is presented as a coherent whole in my book Meta Math!, which will be published this fall.

研究の動機と目的

• アルゴリズム的情報理論の視点から認識論を再構築し、理解とはプログラムによる圧縮に等しいと主張する。
• 理論の任意の複雑さは、それらを空虚にするため、意味のある科学的・数学的説明の基準を確立する。
• 停止確率Ωがアルゴリズム的に還元不能であることを示し、いかなる有限な公理集合からも導けない、還元不能な数学的事実を体現している。
• 宇宙が根本的に計算的であるという新しい形而上学的世界観—デジタル哲学—を提唱する。神は数学者ではなくプログラマーである。
• 数学および生物学における新しいアイデアの起源を、機械的でない創造的プロセスとして理解し、知識と進化の機械的見方を挑戦する。

提案手法

• アルゴリズム的情報理論を用いて、理論の複雑さを生成可能な最小のプログラムのサイズで測定する。
• 情報含量と説明力の指標として、アルゴリズム的複雑性（コルモゴロフ複雑性）の概念を導入する。
• 停止確率Ωを、ユニバーサルチューリングマシン上でランダムに選ばれたプログラムが停止する確率として定義し、それがアルゴリズム的にランダムで還元不能であることを示す。
• Ωを用いて、いかなる固定された公理系内でも証明できないが真である数学的事実が存在することを示し、ゲーデルの不完全性とチューリングの非計算可能性を拡張する。
• 情報と計算に基づく世界のメタ物理学的体系（système du monde）を構築し、神話的および古典的科学的物語と対比する。
• 科学的理論が成功するのは、新たな実体を仮定するのではなく、観測をより単純で効率的な記述に圧縮するからである。これはデータ圧縮に類似している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 情報圧縮の観点から、意味のある科学的・数学的理論とは何か？
• RQ2 アルゴリズム的情報理論は、説明と理解の概念をどのように再定義するか？
• RQ3 停止確率Ωが示すように、ある事実が還元不能に複雑である場合、数学的真実の性質はいかなるものか？
• RQ4 数学的および生物学的アイデアの起源は、機械的導出ではなく、非帰納的で創造的なプロセスとして理解できるか？
• RQ5 宇宙はどの程度計算的システムとしてモデル化可能であり、物理学・数学・形而上学にどのような含意をもたらすか？

主な発見

• 停止確率Ωはアルゴリズム的に還元不能である。そのビットはランダムであり、いかなる有限な公理集合からも導けず、最大限に知られざる。
• 理論が任意に複雑である場合、それは空虚になる。したがって、真正の説明を構成するのは、圧縮可能で単純な記述に限られる。
• 数学的知識は静的ではない。固定された公理系からの演繹だけでなく、新しい概念や公理の発明を通じて進歩する。
• 宇宙は根本的に離散的で計算的である可能性があり、デジタル物理学およびデジタル哲学と整合する。現実は、巨大な計算に似ている。
• プログラミングの行為は、より深い理解を強制する。つまり、実装可能でなければ真に理解されたとは言えない。これは、コンピュータ認識論の核心的原則である。
• 数学および生物学における創造性は、非帰納的で非アルゴリズム的なプロセスから生じ、新しいアイデアの出現は、単に機械的計算に還元できない。