[論文レビュー] $\epsilon$-Monotone Fourier Methods for Optimal Stochastic Control in Finance

Peter Forsyth, George Labahn|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、グリーン関数を線形基底関数に射影することで、ユーザーが定義した許容誤差内での単調性を保証する、最適確率制御におけるε-単調フーリエ法を提案する。この手法は、標準的なフーリエスキームと同等の計算効率を維持しながら、単調性、ℓ∞-安定性、離散比較原理を保証し、価値関数の比較を伴う制御問題における信頼性の高い使用を可能にする。

ABSTRACT

Stochastic control problems in finance often involve complex controls at discrete times. As a result numerically solving such problems, for example using methods based on partial differential or integro-differential equations, inevitably give rise to low order accuracy, usually at most second order. In many cases one can make use of Fourier methods to efficiently advance solutions between control monitoring dates and then apply numerical optimization methods across decision times. However Fourier methods are not monotone and as a result give rise to possible violations of arbitrage inequalities. This is problematic in the context of control problems, where the control is determined by comparing value functions. In this paper we give a preprocessing step for Fourier methods which involves projecting the Green's function onto the set of linear basis functions. The resulting algorithm is guaranteed to be monotone (to within a tolerance), $\ell_\infty$-stable and satisfies an $\epsilon$-discrete comparison principle. In addition the algorithm has the same complexity per step as a standard Fourier method while at the same time having second order accuracy for smooth problems.

研究の動機と目的

• 既存のフーリエスキーム（FST/CONV/COS）に見られる単調性の欠如が、最適制御問題におけるアービタージュ不等式を破る可能性があるという問題に対処すること。
• グリーン関数を線形基底関数に射影する前処理ステップを構築し、ユーザーが指定した許容誤差内での単調性を保証すること。
• 標準的なフーリエスキームと同等の時間ステップあたりの計算複雑度を維持しながら、滑らかな問題に対して2次精度を達成すること。
• 特に離散的決定時刻と価値関数の比較を伴う最適確率制御問題の堅牢で信頼性の高い数値的解法を可能にすること。

提案手法

• 物理空間においてグリーン関数を、切り捨てられたフーリエ級数を用いて線形基底関数の集合に射影することで前処理を行う。
• 制御された切り捨てを伴う離散フーリエ変換を用いて射影されたグリーン関数を計算し、非負性と有界誤差を保証する。
• ε-許容誤差を用いた離散比較原理を適用し、得られるスキームの単調性を保証する。
• 修正されたグリーン関数をフーリエ時間ステッピングフレームワークに組み込み、制御監視日間の解の進化を実行する。
• 単調スキームを数値最適化と統合し、各決定点における最適制御を特定する。
• 収束性と単調性のテスト、切り捨て級数の誤差境界、安定性のチェックを通じて、手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適確率制御問題において、計算効率を損なわずに、ユーザーが指定した許容誤差内での単調性を達成できるように、フーリエ法を変更可能か？
• RQ2 グリーン関数を線形基底関数に射影することにより、フーリエベースの時間ステッピングスキームの安定性と精度にどのような影響を与えるか？
• RQ3 提案された前処理ステップが、滑らかな問題に対して、標準的なフーリエ法の2次収束率をどの程度維持するか？
• RQ4 得られるスキームがε-離散比較原理を満たすか。これは、価値関数の比較において信頼性を確保する上で不可欠である。
• RQ5 既存のFST/CONVソフトウェアに、最小限の実装コストで効率的に統合可能か？

主な発見

• 提案された前処理ステップにより、得られるフーリエスキームがユーザーが定義した許容誤差内での単調性を保証され、アービタージュ不等式の違反が防止される。
• この手法はℓ∞-安定性を達成し、ε-離散比較原理を満たす。これは、信頼性のある最適制御計算に不可欠である。
• アルゴリズムは、標準的なFST/CONV手法と同等の時間ステップあたりの計算複雑度を維持し、効率性を保つ。
• 滑らかな問題に対して、この手法は2次精度を維持し、古典的な有限差分スキームの収束率と一致する。
• 数値的テストにより、丸め誤差の範囲内で単調性と精度の条件が満たされていることが確認された（例：α = 2, 4 などの中程度の切り捨てパラメータ値）。
• 射影されたグリーン関数の切り捨てられたフーリエ級数の誤差は、切り捨てを増加させることで指数関数的に減少し、収束性とロバストネスを裏付ける。