[論文レビュー] Epstein-Zin Utility Maximization on a Random Horizon

Joshua Aurand, Yu‐Jui Huang|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 71被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非線形成長を示す後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）を用いて、無限大の確率的終了時刻を持つ状況下でのEpstein-Zin効用の最適消費・投資問題を解いている。追加の確率過程 $\hat{Z}$ を導入し、確率的終了時刻の影響を捉える。固定期間モデルとは対照的に、このような終了時刻は最適戦略を著しく変化させ、特に期間間代替の弾力性（EIS）に対する感受性が顕著に変化する。

ABSTRACT

This paper solves the consumption-investment problem under Epstein-Zin preferences on a random horizon. In an incomplete market, we take the random horizon to be a stopping time adapted to the market filtration, generated by all observable, but not necessarily tradable, state processes. Contrary to prior studies, we do not impose any fixed upper bound for the random horizon, allowing for truly unbounded ones. Focusing on the empirically relevant case where the risk aversion and the elasticity of intertemporal substitution are both larger than one, we characterize the optimal consumption and investment strategies using backward stochastic differential equations with superlinear growth on unbounded random horizons. This characterization, compared with the classical fixed-horizon result, involves an additional stochastic process that serves to capture the randomness of the horizon. As demonstrated in two concrete examples, changing from a fixed horizon to a random one drastically alters the optimal strategies.

研究の動機と目的

• 固定期間ではなく確率的終了時刻である場合のEpstein-Zin効用下での最適消費・投資問題におけるギャップを埋める。
• 確率的終了時刻が有界であるという仮定を緩和し、不完全市場における真正に無限大の停止時刻を許容する。
• 非一様な非線形成長を示す後向き確率微分方程式（BSDE）を用いて、無限大の確率的終了時刻における最適戦略を特徴付ける。
• 確率的終了時刻が固定期間のベンチマークと比較して最適消費・投資政策を著しく変化させるかどうかを示す。
• 従来の結果が有界な終了時刻または一様な成長を仮定していたのに対し、真正に無限大の終了時刻と非一様な非線形成長を扱えるようにBSDE理論を拡張する。

提案手法

• 市場のフィルトレーションに適応した停止時刻 $\tau$ として定義される確率的終了時刻を持つ不完全市場で問題を定式化する。観察可能ではあるが、必ずしも取引可能でない状態過程に基づく。
• 切断法を用いる：有限区間 $[0,n]$ 上でのBSDEの系列を定義し、固定期間BSDEにおける非線形成長の既存結果を活用する。
• 有限区間上での解の系列が完備な確率過程空間内でのコーシー列を形成することを示し、確率的終了時刻BSDEの解の存在を証明する。
• 固定期間設定とは異なり、確率的終了時刻が最適戦略に与える影響を捉えるために、新たな確率過程 $\hat{Z}$ を導入する。
• 具体的な2つのモデルにこの手法を適用する：企業の確率的デフォルト時刻とHestonの確率的ボラティリティモデル。戦略的変化を実証する。
• フーリエ級数とリッカティ方程式を用いてHestonモデルにおける生存確率を解き、$\tau$ の指数モーメントのためのモーメント条件の検証を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 本当に無限大の確率的終了時刻を許容した場合、$\gamma, \psi > 1$ のEpstein-Zin効用下で最適消費・投資戦略はどのように変化するか？
• RQ2 確率的終了時刻における最適戦略を特徴付けるために、固定期間設定とは何が異なる新たな確率的成分が必要か？
• RQ3 終了時刻が固定ではなく確率的である場合、期間間代替の弾力性（EIS）の変化に対する最適投資比率の反応はどのように変化するか？
• RQ4 市場の不完全性と確率的終了時刻が存在する状況下で、非一様な非線形成長を示す後向き確率微分方程式で最適戦略を表現できるか？
• RQ5 $\tau$ が無限大である確率的終了時刻設定において、$c < c^*$ のとき指数モーメント $\mathbb{E}[e^{c\tau}]$ の有限性を保証する条件は何か？

主な発見

• 確率的終了時刻における最適消費・投資戦略には、固定期間設定には存在しない追加の過程 $\hat{Z}$ が関与しており、これは確率的終了時刻の動的影響を捉えている。
• 確率的デフォルト時刻モデルでは、固定期間設定と比較して最適消費・投資が減少しており、企業がデフォルトに近づくにつれてその減少は顕著になる。
• 確率的終了時刻下では、期間間代替の弾力性（EIS）$\psi$ が増加するにつれて最適投資比率が上昇するが、固定期間設定では通常、感度が低いか、減少する傾向にある。
• Hestonの確率的ボラティリティモデルでは、終了時刻が確率的である場合、最適投資比率は市場状態（ボラティリティと価格水準）の関数となり、定数ではなくなる。
• 終了時刻を切断し、解の系列の収束を証明することで、非一様な非線形成長を示す確率的終了時刻BSDEの解の存在を確立した。
• Hestonモデルにおける生存確率は、リッカティ方程式の解を含むフーリエ級数で表現され、$\mathbb{E}[e^{c\tau}] < ∞$ が $c < c^*$ に対して成り立つことを証明可能となり、これは効用過程の適切な定義に不可欠である。