[論文レビュー] Equating two maximum degrees

Yair Caro, Josef Lauri+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、CaroとYuster（2017年）が提起した、グラフにおける最大次数を等しくする問題を解決し、誘導部分グラフで少なくとも2つの頂点が最大次数に達するようにするための頂点削除数に対するタイトな上界を証明している。任意の $ n \geq 4 $ 頂点のグラフに対して、最大 $ \lceil (-3 + \sqrt{8n - 15})/2 \rceil $ 個の頂点を削除すれば十分であり、最大次数 $ \Delta $ の場合、上界は $ \lceil (-3 + \sqrt{8\Delta + 1})/2 \rceil $ である。両者ともタイトである。論文はまた、$ \Delta = 0,1,2 $ の場合の $ g(\Delta,k) $ および $ h(\Delta,k) $ の正確な値を提供し、$ f(G) $ を計算する多項式時間アルゴリズムを提示し、$ f(n,k) $ 関数に関する長年の予想を解決した。

ABSTRACT

Given a graph $G$, we would like to find (if it exists) the largest induced subgraph $H$ in which there are at least $k$ vertices realizing the maximum degree of $H$. This problem was first posed by Caro and Yuster. They proved, for example, that for every graph $G$ on $n$ vertices we can guarantee, for $k = 2$, such an induced subgraph $H$ by deleting at most $2\sqrt{n}$ vertices, but the question if $2\sqrt{n}$ is best possible remains open. Among the results obtained in this paper we prove that: 1. For every graph $G$ on $n \geq 4$ vertices we can delete at most $\lceil \frac{- 3 + \sqrt{ 8n- 15}}{2 } ceil$ vertices to get an induced subgraph $H$ with at least two vertices realizing $Δ(H)$, and this bound is sharp, solving the problems left open by Caro and Yuster. 2.For every graph $G$ with maximum degree $Δ\geq 1$ we can delete at most $\lceil \frac{ -3 + \sqrt{8Δ+1}}{2 } ceil$ vertices to get an induced subgraph $H$ with at least two vertices realizing $Δ(H)$, and this bound is sharp. 3. Every graph $G$ with $Δ(G) \leq 2$ and least $2k - 1$ vertices (respectively $2k - 2$ vertices if k is even) contains an induced subgraph $H$ in which at least $k$ vertices realise $Δ(H)$, and these bound are sharp.

研究の動機と目的

• CaroとYusterが予想したように、$ f(n,2) $ に対して $ 2\sqrt{n} $ が最良の上界であるかどうかを解明すること。
• 誘導部分グラフで少なくとも2つの頂点が最大次数に達するようにするための、頂点削除数の正確な最大値を、$ n $ および $ \Delta $ の関数として特定すること。
• $ \Delta = 0,1,2 $ の場合の $ g(\Delta,k) $ および $ h(\Delta,k) $ の正確な値を計算し、特に $ \Delta \leq 2 $ の場合の $ k $-可能グラフにおける $ f_{k}(G) $ のタイトな上界を特定すること。
• $ f(G) $、つまり2つの最大次数を等しくするための最小頂点削除数が $ O(n^2) $ 時間で計算可能であることを確立すること。
• $ k $-可能グラフの構造を調査し、特に $ k \geq 3 $ の場合の $ f_{k}(G) $ のタイトな上界を提供し、$ f(n,k) = O(\sqrt{n}) $ であるという予想を検討すること。

提案手法

• 著者たちは、$ G $ から少なくとも $ k $ 個の頂点が $ \Delta(H) $ を達成する誘導部分グラフ $ H $ を得るために削除する必要のある頂点数の最小値を $ f_k(G) $ と定義し、それぞれサイズ $ n $ および最大次数 $ \Delta $ のグラフの上界として $ f(n,k) $ および $ g(\Delta,k) $ を導入した。
• 2等化集合 $ B $ という概念を導入し、これは削除することで誘導部分グラフに少なくとも2つの頂点が最大次数に達するような頂点集合を指す。
• 補題を用いて、次数差 $ \text{diff}(G) = d_1 - d_2 $ を用いて $ f(G) $ を評価し、$ f(G) \leq \text{diff}(G) $ を示した。さらに、$ f(G) < \text{diff}(G) $ ならば、一意の最大次数頂点はすべての最小2等化集合に属する必要があることを証明した。
• 極値グラフ構成とラマセー型の議論を用いて、特に $ f(n,2) $ および $ g(\Delta,2) $ に対してタイトな上界を導出し、$ f(n,2) \leq \lceil (-3 + \sqrt{8n - 15})/2 \rceil $ および $ g(\Delta,2) \leq \lceil (-3 + \sqrt{8\Delta + 1})/2 \rceil $ を証明した。両者ともタイトである。
• 森 $ F $ に対しては、星およびパスへの構造的分解を用い、ドミネーション理論（Oreの定理）を適用し、偶奇性および数え上げ的議論を用いて $ f_k(F) $ を評価した。$ f_k(F) \leq (2k-1)n^{1/3} $ を示し、$ \Delta \leq 2 $ のグラフにおける $ k $-可能性のタイトな上界を提供した。
• 構成的証明および次数と成分構造に関する場合分けを用いて、$ \Delta = 0,1,2 $ の場合の $ g(\Delta,k) $ および $ h(\Delta,k) $ の正確な値を計算した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CaroとYusterが予想したように、$ f(n,2) $ に対する上界 $ 2\sqrt{n} $ は最良のものであるか？
• RQ2 $ f(n,2) $ の正確な値を $ n $ の関数として特定でき、それがタイトであるか？
• RQ3 最大次数 $ \Delta $ のグラフにおいて、2つの最大次数頂点を等しくするための頂点削除数の最大値 $ g(\Delta,2) $ の正確な値は何か？ そしてこの上界はタイトか？
• RQ4 最大次数 $ \Delta \leq 2 $ のグラフに対して、$ g(\Delta,k) $ および $ h(\Delta,k) $ の正確な値は何か？ また、$ k $-非可能グラフの頂点数のタイトな上界は何か？
• RQ5 $ k \geq 3 $ の場合に $ f_k(G) $ を多項式時間で計算可能か？ また、すべての $ k \geq 4 $ に対して $ f(n,k) = O(\sqrt{n}) $ が成り立つか？

主な発見

• 任意の $ n \geq 4 $ 頂点のグラフ $ G $ に対して、誘導部分グラフ $ H $ で少なくとも2つの頂点が $ \Delta(H) $ を達成するようにするには、最大 $ \lceil (-3 + \sqrt{8n - 15})/2 \rceil $ 個の頂点を削除すれば十分であり、この上界はタイトである。
• 任意の最大次数 $ \Delta \geq 1 $ のグラフ $ G $ に対して、誘導部分グラフで2つの頂点が最大次数に達するようにするには、最大 $ \lceil (-3 + \sqrt{8\Delta + 1})/2 \rceil $ 個の頂点を削除すれば十分であり、この上界もタイトである。
• $ \Delta = 0,1,2 $ の場合の $ g(\Delta,k) $ の正確な値が特定された：$ g(0,k) = \lfloor (k-1)/2 \rfloor $、$ g(1,k) = \lfloor (k-1)/2 \rfloor $、$ g(2,k) = k-1 $。$ h(\Delta,k) $（最大次数 $ \leq \Delta $ の非 $ k $-可能グラフの最大サイズ）に対してもタイトな上界が得られた。
• 森 $ F $ に対して、$ f_k(F) \leq (2k-1)n^{1/3} $ を示し、タイトな上界を提供した：$ n \geq 2k-1 $ のとき $ f_k(F) \leq 2k-2 $、$ k $ が偶数で $ n \geq 2k-2 $ のとき $ f_k(F) \leq 2k-3 $。
• $ f(G) $、つまり2つの最大次数を等しくするための最小頂点削除数を計算する多項式時間 $ O(n^2) $ アルゴリズムを提示し、計算複雑性に関する問題を解決した。
• 論文は $ h(\Delta,k) \leq g(\Delta,k) + k - 1 $ を証明し、正確な値を計算した：$ h(0,k) = k-1 $、$ h(1,k) = \lfloor k/2 \rfloor + 2\lfloor (k-1)/2 \rfloor $、$ \text{奇数 } k \geq 3 $ のとき $ h(2,k) = 2k-2 $、$ \text{偶数 } k \geq 2 $ のとき $ h(2,k) = 2k-3 $。