[論文レビュー] Equation-Free Multiscale Computation: enabling microscopic simulators to perform system-level tasks

Ioannis G. Kevrekidis, C. W. Gear+4 more|ArXiv.org|Sep 10, 2002

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用数 88

ひとこと要約

本稿では、分子動力学やキネティックモンテカルロモデルなどのマイクロスコピックシミュレータが、閉形式の連続体方程式を導出することなく、粗大スケールの統合、分岐解析、最適化などのシステムレベルのタスクを実行できる、Equation-Free Multiscale Computationというフレームワークを紹介する。短いマイクロスコピックシミュレーションのバーストを用いて粗大スケールの挙動を推定することで、閉形式の連続体方程式を必要とせず、従来の数値的手法を模倣する計算スーパ構造を通じて、複雑なシステムの直接的解析を可能にする。

ABSTRACT

We present and discuss a framework for computer-aided multiscale analysis, which enables models at a "fine" (microscopic/stochastic) level of description to perform modeling tasks at a "coarse" (macroscopic, systems) level. These macroscopic modeling tasks, yielding information over long time and large space scales, are accomplished through appropriately initialized calls to the microscopic simulator for only short times and small spatial domains. Our equation-free (EF) approach, when successful, can bypass the derivation of the macroscopic evolution equations when these equations conceptually exist but are not available in closed form. We discuss how the mathematics-assisted development of a computational superstructure may enable alternative descriptions of the problem physics (e.g. Lattice Boltzmann (LB), kinetic Monte Carlo (KMC) or Molecular Dynamics (MD) microscopic simulators, executed over relatively short time and space scales) to perform systems level tasks (integration over relatively large time and space scales,"coarse" bifurcation analysis, optimization, and control) directly. In effect, the procedure constitutes a systems identification based, "closure on demand" computational toolkit, bridging microscopic/stochastic simulation with traditional continuum scientific computation and numerical analysis. We illustrate these ideas through examples from chemical kinetics (LB, KMC), rheology (Brownian Dynamics), homogenization and the computation of "coarsely self-similar" solutions, and discuss various features, limitations and potential extensions of the approach.

研究の動機と目的

• 閉形式のマクロスケール方程式を明示的に導出することなく、マイクロスコピックシミュレータがシステムレベルのモデリングタスクを実行できる計算フレームワークの開発を目的とする。
• 複雑なシステムにおけるマイクロスコピックシミュレーションとマクロスケールのシステム行動の間のスケールギャップを埋める課題に対処することを目的とする。
• 分岐、最適化、制御などの粗大スケール解析を、マイクロスコピックモデルから直接行えるようにすることを目的とする。
• マクロスケール方程式を明示的に導出せず、マイクロスコピックシミュレーションと従来の数値解析を統合する「必要に応じた閉じ込め（closure on demand）」ツールキットを提供することを目的とする。
• 化学反応速度論、レオロジー、均質化など多様な応用分野における方程式フリー手法の実現可能性を示すこと。

提案手法

• コアとなる手法は、長時間スケールでのマクロスケール変数の進化を推定するために、適切に初期化された短いマイクロスコピックシミュレーションを用いる「粗大時間ステッパー」である。
• システム同定法を活用して、閉形式のマクロスケール方程式がなくても、マイクロスコピックシミュレータから残留項、ヤコビアン、ヘッセ行列などのマクロスケール情報を取り出す。
• プロジェクト型統合を用いて、短いマイクロスコピックシミュレーションから長時間の挙動を予測することで、粗大スケール時間統合を加速する。
• ギャップ・トゥーススキームは、適切な境界条件を備えた小さなパッチ上でマイクロスコピックダイナミクスをシミュレートすることで、空間的に分散された粗大スケール計算を可能にする。
• パッチダイナミクスは、局所的なマイクロスコピックシミュレーションと粗大スケール補間を組み合わせて、システム全体の挙動を近似する。
• このフレームワークはスケールの分離に依存しており、粗大スケールのダイナミクスが微細スケールの揺らぎと比べて実質的に遅いと仮定している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マイクロスコピックシミュレータは、閉形式のマクロスケール方程式を導出することなく、長時間統合や分岐解析などのシステムレベルタスクを実行できるか？
• RQ2 ヤコビアンやヘッセ行列などのマクロスケール量を、マイクロスコピックシミュレーションからのみ推定する方法は何か？
• RQ3 マイクロスコピックシミュレーションから抽出された粗大スケールダイナミクスが正確で安定していることを保証する条件は何か？
• RQ4 方程式フリー手法は、複雑なマイクロ物理学を有する物理系に対しても体系的に適用可能か？
• RQ5 明示的な粗大スケールモデルを導出することなく、粗大スケール最適化や制御を達成するにはどうすればよいか？

主な発見

• 方程式フリーフレームワークは、閉形式のマクロスケール方程式を必要とせず、マイクロスコピックシミュレータのみを用いて粗大スケールのシミュレーション、分岐解析、最適化を成功裏に実行可能である。
• プロジェクト型統合を用いることで、短時間のマイクロスコピックシミュレーションから長時間の粗大スケールダイナミクスを正確に推定でき、粗大タイムステッピングの実現可能性が示された。
• 粗大時間ステッパーと再正規化フロー技術を組み合わせることで、粗大スケール自己相似解の計算が可能になった。
• 化学反応速度論、レオロジー、均質化への応用から、複雑なマイクロスケール挙動を有する多様な物理系を扱えることが示された。
• 明示的なマクロスケール方程式が欠如している状況でもフレームワークは頑健であり、概念的には可能だが実務的に不適切な方程式が存在する場合にも適用可能である。
• このアプローチは、統計力学における平衡および非平衡現象の研究に新たな道筋を提供し、量子的極限や半古典的近似を含む分野にも応用可能である。