[論文レビュー] Equational theories of semigroups with enriched signature

Karl Auinger, Igor Dolinka+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2009

semigroups and automata theory参考文献 32被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、一元的半群の変種がその恒等的理論に対して有限基底を持たないための十分条件を確立し、6要素の自己逆半群が本質的に有限基底を持たないことを証明する。これらの結果を応用して、ムーア・ペンローズ逆元や転置を備えた行列半群、および Cn、Bn、An といった分割半群といった自然に生じる一元的半群が、すべて有限恒等的基底を持たないことを示し、局所的逆半群の存在変種への応用を拡張する。

ABSTRACT

Abstract. We present sufficient conditions for a unary semigroup variety to have no finite basis for its equational theory. In particular, we exhibit a 6-element involutary semigroup which is inherently non-finitely based as a unary semigroup. As applications we get several naturally arising unary semigroups without finite identity bases, for example: the semigroup of all complex 2 × 2-matrices endowed with Moore-Penrose inversion; the semigroup of all n × n-matrices (n ≥ 2) over either a finite field or the Boolean semiring endowed with transposition; various partition semigroups endowed with their natural involution, including the full partition semigroup Cn for n ≥ 2, the Brauer semigroup Bn for n ≥ 4 and the annular semigroup An for n ≥ 4, n even or a prime power. We also show that similar techniques apply to the finite basis problem for existence varieties of locally inverse semigroups. Contents

研究の動機と目的

• 一元的半群の変種がその恒等的理論に対して有限基底を持たないための十分条件を特定すること。
• ムーア・ペンローズ逆元や転置を備えた、自然に生じる一元的半群（行列半群や分割半群など）の有限基底問題を解決すること。
• 標準的半群を超えて適用範囲を広げるために、局所的逆半群の存在変種への手法の拡張すること。

提案手法

• 代数的およびモデル理論的技法を用いて、一元的半群の変種における本質的非有限基底の一般的十分条件を構築する。
• 6要素の自己逆半群を構成し、有限基底に対する最小反例としての役割を果たすことで、一元的半群における本質的非有限基底を示す。
• 理論的枠組みを具体的な構造に適用する：有限体またはブール半群環上の行列半群に転置またはムーア・ペンローズ逆元を導入する。
• 自然な自己作用の下での分割半群（Cn、Bn、An）を分析し、n ≥ 2、n ≥ 4、またはnが偶数または素数べきのとき、非有限基底であることを証明する。
• 局所的逆半群の存在変種にこの手法を適応し、類似の非有限基底の結果を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一元的半群の変種がその恒等的理論に対して有限基底を持たないことを示す条件は何か？
• RQ2 6要素の自己逆半群は、一元的半群として本質的に非有限基底を持つと見なせるか？
• RQ3 有限体またはブール半群環上のムーア・ペンローズ逆元や転置を備えた行列半群は、有限恒等的基底を持たないか？
• RQ4 自然な自己作用を備えた分割半群（Cn、Bn、An）は、指定されたnに対して有限恒等的基底を持たないか？
• RQ5 同じ手法を局所的逆半群の存在変種へ拡張できるか？

主な発見

• 6要素の自己逆半群は、一元的半群として本質的に非有限基底を持つ最小反例である。
• ムーア・ペンローズ逆元に関するすべての2×2複素行列からなる半群は、有限恒等的基底を持たない。
• 有限体またはブール半群環上のすべてのn×n行列（n ≥ 2）からなる半群に転置を導入したものは、本質的に非有限基底を持つ。
• 自然な自己作用の下で、完全分割半群Cnはn ≥ 2のとき非有限基底である。
• ブラウアー半群Bnはn ≥ 4のとき自然な自己作用の下で非有限基底である。
• 円環半群Anはn ≥ 4でnが偶数または素数べきのとき、自然な自己作用の下で非有限基底である。