[論文レビュー] Equations for secant varieties of Veronese and other varieties

J. M. Landsberg, Giorgio Ottaviani|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2011

Tensor decomposition and applications参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、表現論とベクトル bundle 技法を用いて、ヴェロネーゼ多様体の接線多様体のための新しい方程式のクラスを導入し、'ヤングフラットネイング'を介して古典的なカタレティックント・ミニマルを一般化する。標準的なフラットネイングが失敗する状況において、特定のヤングフラットネイングが、スキーム論的定義方程式を提供することを証明し、均一な枠組みとして同調的ベクトルバンドルを用いて、複数の代数幾何の設定において接線多様体のための方程式を導出する。

ABSTRACT

New classes of modules of equations for secant varieties of Veronese varieties are defined using representation theory and geometry. Some old modules of equations (catalecticant minors) are revisited to determine when they are sufficient to give scheme-theoretic defining equations. An algorithm to decompose a general ternary quintic as the sum of seven fifth powers is given as an illustration of our methods. Our new equations and results about them are put into a larger context by introducing vector bundle techniques for finding equations of secant varieties in general. We include a few homogeneous examples of this method.

研究の動機と目的

• 古典的なカタレティックント・ミニマルを超える、接線多様体のヴェロネーゼ多様体のための新しい体系的方程式を開発すること。
• 標準的なフラットネイングが接線多様体をスキーム論的に定義するのに十分である条件を特定すること。
• 一般の接線多様体のための方程式を導出するための均一なベクトルバンドルフレームワークを導入すること。
• 3次形式の5乗への分解のためのアルゴリズムを用いて、手法を具体例で示すこと。
• スピン系および例外的グラスマン多様体を含む他の多様体へ理論を拡張すること。

提案手法

• 表現論を用いて、古典的なアロンド・不変量の一般化としての 'ヤングフラットネイング' を導入し、新しい方程式モジュールを構成する。
• 旗多様体 G/P 上のベクトルバンドル技法を適用し、同調的ベクトルバンドルのコホモロジーを用いて接線多様体の方程式を導出する。
• ベクトルバンドル E と E*⊗L 間の双対性を活用し、特に両者に非自明な切断を持つ場合に方程式を構成する。
• 対称テンソルおよび対称フラットネイング φa,d−a の幾何を活用し、ランク条件を分析し、ミニマルを導出する。
• 異なる接線多様体および次元にわたる結果を一般化するための帰納法補題（補題 6.2.1）を開発する。
• 既知の結果（Iarrobino, Kanev, Diesel より）を用いて、特定のケース σr(vd(Pn)) にフレームワークを適用し、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なカタレティックント・ミニマルは、ヴェロネーゼ多様体の接線多様体をスキーム論的に定義するのに十分か？
• RQ2 標準的なフラットネイングが失敗する状況において、ヤングフラットネイングのような新しい方程式クラスがスキーム論的定義方程式を提供できるか？
• RQ3 接線多様体の同調的ベクトルバンドルのコホモロジーを、どのように体系的に方程式を構成するために用いることができるか？
• RQ4 E6/P3 や Dn/Pn のような例外的ケースにおいて、接線多様体を定義する方程式の最小次数は何か？
• RQ5 複雑性理論および代数統計の既存手法と比較して、新しい方程式は効率性および完全性においてどのように優れるか？

主な発見

• ヤングフラットネイング、特に YFd,n は、標準的なフラットネイングが失敗する状況においても、接線多様体をスキーム論的に定義する方程式を提供する。これは定理 1.2.3 で証明されている。
• σ3(v3(Pn)) において、アロンド不変量と φ1,2 の 4×4 ミニマルが、理想論的方程式を与える。これは命題 4.1.1 および定理 3.2.1 で示されている。
• d≥4 の σ3(vd(Pn)) において、φ2,2 と φ1,3 の 4×4 ミニマルが、接線多様体をスキーム論的に定義する。これは定理 1.2.3 で確立されている。
• d≥6 または d=4 の σ4(vd(P2)) および σ5(vd(P2)) において、それぞれ a=⌊d/2⌋ の φa,d−a の 5×5 および 6×6 ミニマルがスキーム論的方程式を与える。これは定理 1.2.3 による。
• σ6(v5(P2)) において、φ31,31 の 14×14 の部分パファン（Pfaffian）が接線多様体をスキーム論的に定義する。これは定理 s6v5p2 で示されている。
• j≤(δ+1 choose 2) の σj(v2δ(P2)) において、1≤a≤δ の φa,d−a におけるランク条件がスキーム論的方程式を与える。これは Iarrobino および Kanev の既知の結果を拡張する。