[論文レビュー] Equations in the Hadamard ring of rational functions

Andrea Ferretti, Umberto Zannier|ArXiv.org|Jan 26, 2007

Polynomial and algebraic computation参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、数体上の有理関数のハダマール環におけるd次根に関するピゾの予想を、一般のモニック多項方程式へ一般化する。指数型多項式表現とヒルベルトの既約性定理を用いて、このような方程式がすべてのnに対して基本体で解を持つならば、その解は有限次拡大体上のハダマール環にも存在することを証明する。これにより、d次根に関する結果とハダマール商定理の結果が統一される。

ABSTRACT

Let k be a number field. It is well known that the set of sequences composed by Taylor coefficients of rational functions over k is closed under component-wise operations, and so it can be equipped with a ring structure. A conjecture due to Pisot asks if (after enlarging the field) one can take d-th roots in this ring, provided d-th roots of coefficients can be taken in k. This was proved true in a preceding paper of the second author; in this article we generalize this result to more general equations, monic in Y, where the former case can be recovered for g(X,Y)=X^d-Y=0. Combining this with the Hadamard quotient theorem by Pourchet and Van der Poorten, we are able to get rid of the monic restriction, and have a theorem that generalizes both results.

研究の動機と目的

• 数体上の有理関数のハダマール環におけるモニック多項方程式を解くというヴァン・デル・プーテンの予想を解決すること。
• 既に知られていたハダマール環におけるd次根に関する結果を、より一般の代数的方程式へ拡張すること。
• ハダマール商定理とピゾの予想を、ハダマール環における代数的方程式の解法を統一する共通の枠組みで統合すること。
• 基本体において点ごとに解が存在するならば、その解が有限次拡大体上のハダマール環にも存在することを確立すること。

提案手法

• 数体の係数と代数閉包内の根を持つ指数多項式として、ハダマール環の要素を表現すること。
• 算術的等差数列全体にわたる解の存在を制御するために、ヒルベルトの既約性定理を適用すること。
• 有限体上の多項式因子の既約性を解析するために、還元技法とガロア理論を用いること。
• 解の構成のため、分割型が望ましい素数の存在を保証するために、チェボタレフの密度定理を用いること。
• 解析的数論からの推定値を用いて、オイラー関数φ(m)/mの上限を評価し、拡大体のサイズを制御すること。
• ハッセの原理と近似定理を用いて、有限体上での多項式の既約性を示し、解を局所体から大域体へ持ち上げること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上のハダマール環に係数をもつYに関するモニック多項方程式が、すべてのnに対して基本体で解を持つならば、その方程式がハダマール環全体で解をもつための条件は何か？
• RQ2 ハダマール環におけるd次根に関する結果（ピゾの予想）を、任意のモニック多項方程式へ一般化できるか？
• RQ3 ハダマール商定理とピゾの予想を、ハダマール環における代数的方程式の解法を統一する一様な枠組みで統合できるか？
• RQ4 ヒルベルトの既約性は、ハダマール環における局所解を大域解へ持ち上げる際に果たす役割は何か？
• RQ5 解析的数論の道具を用いて、有限次拡大体の次数に対する有効な上限を導出できるか？

主な発見

• 論文は、Yに関するモニック多項方程式がすべてのnに対して基本体で解を持つならば、その解が有限次拡大体上のハダマール環にも存在することを証明している。
• 解が基本体の有限次拡大体の係数をもつ指数多項式として与えられることを示しており、d次根のケースを一般化している。
• 証明は、有限体上での多項式の既約性に問題を還元し、チェボタレフの密度定理を用いて適切な素数の存在を保証することで成り立つ。
• 著者らは、剰余体に根がないことに基づいて、多項式が素数を法として既約のまま残る条件を確立した。
• ハダマール商定理におけるモニック制約を、方程式の一般解と組み合わせることで取り除くことが可能である。
• 標準的な還元技法を用いることで、Qを含む有限生成体へも結果を拡張できるが、論文は数体に焦点を当てる。