[論文レビュー] Equations involving fractional Laplacian operator: Compactness and application

Shusen Yan, Jianfu Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分数ラプラシアン方程式に臨界的でない摂動と正のパラメータ λ を含む場合について、N > 6α および λ > 0 の条件下で、Sobolev 空間 H 内での強い収束を示すコンパクト性結果を確立する。このコンパクト性により、変分法を用いて臨界問題に対する無限個の解の存在が示される。

ABSTRACT

In this paper, we consider the following problem involving fractional Laplacian operator: \begin{equation}\label{eq:0.1} (-Δ)^α u= |u|^{2^*_α-2-\varepsilon}u + λu\,\, { m in}\,\, Ω,\quad u=0 \,\, { m on}\, \, \partialΩ, \end{equation} where $Ω$ is a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^N$, $\varepsilon\in [0, 2^*_α-2)$, $06α$ and $λ>0$. An application of this compactness result is that problem \eqref{eq:0.1} possesses infinitely many solutions under the same assumptions.

研究の動機と目的

• 分数ラプラシアンに起因する臨界的でない摂動を含むブラジス＝ニレルベルク型問題に対する解の列について、グローバルコンパクト性結果を確立すること。
• 分数ラプラシアンを含む臨界楕円型問題におけるコンパクト性の欠如を克服し、Palais-Smale 列が強い収束を示す条件を同定すること。
• 局所的ラプラシアンの場合（α = 1）における古典的コンパクト性枠組みを、非局所的分数ラプラシアン設定（0 < α < 1）に拡張すること。
• コンパクト性結果を活用して、臨界問題に対する無限個の解の存在を示すこと。

提案手法

• 有界な領域 Ω ⊂ ℝ^N におけるディリクレ・ラプラシアンの固有関数を用いたスペクトル分解により、分数ラプラシアン (−Δ)^α を定義する。
• H = {u ∈ L²(Ω) : ∑ₖ λₖ^α uₖ² < ∞} というヒルベルト空間を、ノルム ‖u‖_H = (∑ₖ λₖ^α uₖ²)^{1/2} を備えて用いる。
• 方程式 (−Δ)^α u = |u|^{2*ₐ−2−ε}u + λu in Ω, u = 0 on ∂Ω に関連するエネルギー汎関数に対する Palais-Smale 列 (uₙ) の挙動を分析する。
• N > 6α の条件下で、解のバブルリング挙動を制御するために、移動平面法と爆発解析を用いる。
• Caffarelli-Silvestre の拡張を用いて、分数ラプラシアンを上半空間 ℝ^{N+1}_+ における退化楕円型問題に関連付ける。
• ケルビン変換とハルナック不等式を用いて、拡張問題の解に対する減衰推定を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数ブラジス＝ニレルベルク問題に臨界的でない摂動を含む場合、Palais-Smale 条件が成立する条件は何か？
• RQ2 臨界指数に近づく際、分数ソボレフ空間 H 内で Palais-Smale 列の強い収束を確立できるか？
• RQ3 解集合のコンパクト性は、臨界分数問題に対して無限個の解の存在を示唆するか？
• RQ4 次元 N とパラメータ λ は、分数設定における解のコンパクト性にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の解の列 (uₙ) に対して、方程式 (−Δ)^α u = |u|^{2*ₐ−2−εₙ}u + λu in Ω, u = 0 on ∂Ω を満たし、εₙ ∈ [0, 2*ₐ−2) かつ ‖uₙ‖_H ≤ C を満たす場合、N > 6α および λ > 0 の下で H 内で強い収束が達成される。
• コンパクト性結果は、特に次元 N が 6α を超える場合に成立し、これは局所的ケース（α = 1）における古典的条件 N > 7 よりも鋭い条件である。
• 非線形性の成長を支配する臨界指数 2*ₐ = 2N/(N−2α) は、コンパクト性の失敗の閾値を決定づける。
• コンパクト性結果の直接的帰結として、臨界問題（ε = 0）に対して無限個の解の存在が示される。
• 上半空間 ℝ^{N+1}_+ における拡張問題の解に対して、|v(X)| ≤ C/(1 + |X|²)^{(N−2α)/2} という減衰推定が、爆発プロファイルの制御に不可欠である。
• Caffarelli-Silvestre の拡張の使用により、非局所問題が高次元における局所的退化楕円型方程式として取り扱えるようになる。