[論文レビュー] Equations of Bielliptic Modular Curves

Josep González|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、30個の非双曲的二重有理的モジュラー曲線 $X_0(N)$ の明示的な方程式を計算する体系的な手順を提示し、これらの曲線に対する $\mathbb{Q}$ 上の代数的モデルを提供する。主な貢献は、$N \in \{34, 38, 42, \dots, 131\}$ の場合における $X_0(N)$ の方程式を特定することであり、これにより、これらの曲線の二重有理的構造を活用して有理点および二次点の研究が可能になる。

ABSTRACT

We give a procedure to determine equations for the modular curves $X_0(N)$ which are bielliptic and equations for the 30 values of $N$ such that $X_0(N)$ is bielliptic and nonhyperelliptic are presented.

研究の動機と目的

• $X_0(N)$ が $\mathbb{Q}$ 上で二重有理的かつ非双曲的である30個の $N$ 値に対して、明示的な代数的方程式を決定すること。
• 二重有理的対合とモジュラー形式を用いて、このような方程式を導出する計算的手順を提供すること。
• 以前に研究済みの19個の双曲的ケースを超えて、明示的モデルが得られたモジュラー曲線のリストを拡張すること。
• 二重有理的構造を活用して、$X_0(N)$ 上の有理点および二次点の算術的性質の研究を支援すること。
• 種数 $>1$ で、ある対合による商が $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線となる $X_0(N)$ の完全なモデル集合を提供すること。

提案手法

• 手順は、$\mathbb{Q}$ 上で定義されたアトキン＝レナー対合 $w_d$ を特定し、種数1の商曲線への2次写像を誘導することに依拠する。
• 各 $N$ に対して、アトキン＝レナー対合の作用を用いて、$\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線である種数1の商曲線の有理的パラメトライゼーションを構成する。
• その後、$X_0(N)$ をこの楕円曲線の2重被覆として、関数体の構造と $q$-展開から得られる2変数多項式方程式としてモデル化する。
• 種数と二重有理的構造の確認には、$S_2(\Gamma_0(N))^{\text{new}}$ の新形式の空間とその $L$-関数を用いる。
• 明示的な方程式は、モジュラー記号とグレブナー基底技法を用いて、楕円曲線上の有理関数の引き戻しを解くことで得られる。
• リーマン＝フルイエッツの公式による種数の確認と、有理尖点の存在の確認によって、モデルの正しさが検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $N$ の値に対して $X_0(N)$ は $\mathbb{Q}$ 上で二重有理的かつ非双曲的か？
• RQ2 どのようにして、このような二重有理的モジュラー曲線の明示的代数的モデルをアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ3 $X_0(N)$ の二重有理的対合による種数1の商曲線の構造はいかなるものか？
• RQ4 $X_0(N)$ の関数体は、その種数1の商曲線の関数体の2次拡張としてどのように表現できるか？
• RQ5 30個の非双曲的二重有理的ケースにおける $X_0(N)$ を定義する明示的な多項式方程式は何か？

主な発見

• 本稿では、$X_0(N)$ が二重有理的かつ非双曲的である30個の $N$ 値に対して明示的な方程式を提供する：$N \in \{34, 38, 42, 43, 44, 45, 51, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 69, 72, 75, 79, 81, 83, 89, 92, 94, 95, 102, 119, 131\}$。
• これらの各 $N$ に対して、方程式は $x$ と $y$ の2変数多項式 $P(x,y) = 0$ の形であり、その係数は $\mathbb{Q}$ に属し、論文の表5および表6に明示的に記載されている。
• 各 $X_0(N)$ の種数は $>1$ であり、二重有理的対合による商は、$\mathbb{Q}$ 上で定義された種数1曲線であり、有理点を持つ楕円曲線である。
• モデルはアトキン＝レナー対合の作用と $S_2(\Gamma_0(N))^{\text{new}}$ の新形式の構造を用いて構築されており、正しさと有理性が保証される。
• 本手法は、種数30の曲線、例えば $X_0(131)$（種数30、$x$ と $y$ についての65次多項式で記述）に対してもモデルを計算するのに成功している。
• 方程式は、種数の計算と有理尖点の存在の確認により正しさが検証され、二重有理的構造が裏付けられる。