[論文レビュー] Equicontinuity of mappings quasiconformal in the mean

Vladimir Ryazanov, Evgeny Sevost’yanov|Zhytomyr State University Library (Zhytomyr Ivan Franko State University)|Mar 5, 2010

Analytic and geometric function theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$（$n \geq 2$）におけるリング $Q(x)$-ホメオモルフィズム族の等連続性および正規性の必要十分条件を、$\int \Phi(Q(x)) \, dm(x) < \infty$ の形の積分的制約の下で確立する。$\Phi$ の成長条件がオルリッチノルムから導かれるものであり、それが必要かつ十分であることが示され、ソボレフ空間 $W_{\text{loc}}^{1,n}$ への拡張がなされ、積分可能性閾値の鋭さが解明される。

ABSTRACT

It is stated a series of criteria of equicontinuity and normality for classes of space mappings with integral restrictions. It is shown that the found conditions are not only sufficient but also necessary. It is given applications to Sobolev's classes.

研究の動機と目的

• リング $Q(x)$-ホメオモルフィズム族の等連続性および正規性の必要十分条件を、$\int \Phi(Q(x)) \, dm(x) < \infty$ の形の積分的制約の下で確立すること。
• このような族の等連続性および正規性を保証する関数 $\Phi$ の成長条件の鋭さを特定すること。
• 結果を $W_{\text{loc}}^{1,n}(D)$ に属する写像へ拡張し、リング $Q(x)$-ホメオモルフィズム枠組みと結びつけること。
• 導出された $\Phi$ の条件が十分であるだけでなく、必要であることも証明し、有限歪度をもつ写像および退化したベルトラミ方程式の理論におけるギャップを埋めること。

提案手法

• 著者らは、アニュラ領域における曲線族のモジュラス歪度に基づく $Q(x)$-ホメオモルフィズムのリング定義を用い、適切な密度 $\rho$ に対して $M(f\Gamma) \leq \int_D Q(x) \rho^n(x) \, dm(x)$ を満たす写像を特徴づける。
• 単位球内での連続性モジュラスおよび径方向歪度推定に基づき、オルリッチ関数 $\Phi_{n-1}^{-1}$ の逆関数を含む臨界的積分条件を導入する。
• 原点での等連続性のテストに用いられる、$f_m(x) = \frac{x}{|x|} R_m(|x|)$ の形の径方向写像 $f_m$ を用いた重要な構成が行われる。この写像は、区分的定数歪度 $K_m(r)$ を持つ。
• 証明は、すべての $m$ に対して $\int \Phi(K_I(x,f_m)) \, dm(x) < \infty$ を満たすが、原点で等連続でないような写像列 $f_m$ の構成に依存する。
• 背理法により、$\int_0^1 \frac{dr}{rK(r)}$ が有限ならば、$\Phi$ は無限大において特定の成長条件を満たさなければならないことが示される。
• 球対称性と内側歪度 $K_I(x,f)$ の径方向および接線方向歪度に関する評価を用い、$K_I(x,f) = K^{n-1}(|x|)$ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積分的制約 $\int \Phi(Q(x)) \, dm(x) < \infty$ を満たすリング $Q(x)$-ホメオモルフィズム族の等連続性および正規性に関して、関数 $\Phi$ の必要十分条件は何か？
• RQ2 従来の研究で示された等連続性の十分条件は、必要でもあるのか、それともより鋭い閾値があるのか？
• RQ3 関数 $\Phi(Q(x))$ に対する積分的制約は、特に有限歪度をもつ写像について、ソボレフ空間 $W_{\text{loc}}^{1,n}$ とどのように関係するか？
• RQ4 オルリッチ型積分可能性条件の鋭さは、明示的な反例によって証明可能か？
• RQ5 $\int_\delta^\infty \log \Phi(t) \, t^{-n'} \, dt = \infty$ であるとき、$\Phi(t)$ の無限大における振る舞いが等連続性に与える影響は何か、特に $n' = n/(n-1)$ の場合。

主な発見

• すべての $\delta > t_0$ に対して $\int_\delta^\infty \log \Phi(t) \, t^{-n'} \, dt = \infty$ であることは、族 $\mathfrak{R}^\Phi$ の等連続性および正規性の必要十分条件である。
• 著者らは、$\int \Phi(K_I(x,f_m)) \, dm(x) < \infty$ をすべての $m$ で一様に満たすが、原点で等連続でない $W_{\text{loc}}^{1,n}$ に属する写像列 $f_m$ を構成し、条件の鋭さを証明した。
• 積分制約 $\int_D \Phi(Q(x)) \, dm(x) < \infty$ が等連続性を保証するための必要十分条件は、$\Phi_{n-1}^{-1}$ から導かれるオルリッチ型成長条件を満たすことであることが示され、これが最適であることが証明された。
• $\mathfrak{R}^\Phi$ が正規であるための必要十分条件は $\int_\delta^\infty \log \Phi(t) \, t^{-n'} \, dt = \infty$ であり、これにより歪度が原点付近にあまり集中しなくなることが保証される。
• $W_{\text{loc}}^{1,n}$ に属する写像で $K_I(x,f) \in L^1_{\text{loc}}$ である場合、$Q(x) = K_I(x,f)$ を用いたリング $Q(x)$-ホメオモルフィズム構造が保存され、等連続性条件が直接適用可能である。
• 条件の必要性は背理法により証明された：等連続性を仮定すると、$\int_0^1 \frac{dr}{rK(r)}$ が有限になるが、これにより $\Phi$ の成長が遅くなり、対応する対数積分の発散性が満たされなくなる。