[論文レビュー] Equidistribution and counting under equilibrium states in negative curvature and trees. Applications to non-Archimedean Diophantine approximation

Anne Broise-Alamichel, Jouni Parkkonen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2016

advanced mathematical theories被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、ポテンシャルを伴う負に曲がった空間における測地線弧および共通垂線の等分布および数え上げ結果を確立し、Patterson-SullivanおよびGibbs測度論をCAT(−1)空間へ拡張する。自然な条件下で、測地線フローがGibbs測度へ等分布すること、共通垂線がスキンニング測度へ等分布することを証明し、関数体上の非アーベル的ディオファントス近似における新しい応用を可能にする。

ABSTRACT

In this book, we study equidistribution and counting problems concerning locally geodesic arcs in negatively curved spaces endowed with potentials, and we deduce, from the special case of tree quotients, various arithmetic applications to equidistribution and counting problems in non-Archimedean local fields.

研究の動機と目的

• ポテンシャルを伴うCAT(−1)空間への均衡状態理論、Gibbs測度およびスキンニング測度の一般化。
• ポテンシャルを伴う空間への測地線フローおよび共通垂線の等分布結果の一般化。
• 負に曲がった空間における長さが増加する共通垂線の漸近的数え上げ結果の確立。
• 非アーベル的局所体における算術的問題への幾何的等分布結果の応用。
• コンductanceシステムを介したメトリックツリー上のポテンシャルの枠組みの構築；力学と算術の接続。

提案手法

• CAT(−1)空間上のポテンシャルFに対して臨界指数δFを定義し、古典的臨界指数を一般化する。
• 動的システムの正則性を保証するため、HC性質（ポテンシャル積分のホルダー連続性）を導入する。
• 境界における無限遠および測地線空間上に均衡状態（Gibbs測度）およびスキンニング測度を構成する。
• 測地線の直線の空間における測地線フローを用いて、軌道および共通垂線の等分布を分析する。
• 混合性および有限性の仮定の下で、スキンニング測度の測地線フローによる押し出し写像がGibbs測度へ等分布することを証明する。
• コンductanceシステムを備えたメトリックツリーに理論を適用し、ポテンシャルFcを辺のコンductanceから導出し、臨界指数δcを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 均衡状態およびGibbs測度は、ポテンシャルを伴うCAT(−1)空間へどのように一般化されるか？
• RQ2 測地線フローがスキンニング測度をGibbs測度へ等分布させる条件は何か？
• RQ3 2つの適切に埋め込まれた閉凸部分集合間の共通垂線は、長さが無限大に近づくときどのように等分布するか？
• RQ4 ポテンシャルを伴う負に曲がった空間における長さが増加する共通垂線の漸近的数え上げ特性は何か？
• RQ5 ツリー上の幾何的等分布結果は、有限体上の関数体の完備化におけるディオファントス近似にどのように応用できるか？

主な発見

• 非退化性、混合性、有限性の仮定の下で、測地線フローによるスキンニング測度の押し出し写像はGibbs測度へ等分布する。
• 共通垂線の初期および終端接ベクトルは、長さが無限大に近づくにつれてスキンニング測度へ等分布する。
• 長さ≤Tの共通垂線の漸近的数え上げ関数は、幾何に依存する定数を乗じたe^{δF T} / T^{1/2}に漸近的に比例して増加する。
• コンductanceシステムを備えたメトリックツリーでは、臨界指数δcは有限かつ正であり、ポテンシャルFcを介した均衡状態理論が成立する。
• ツリー上の等分布結果により、有限体上の関数体の完備化における有理数および二次無理数に関する新しい等分布および数え上げ定理が得られる。
• 本理論は、Roblin、Parry-Paulin、Pau-Pollicottらの既存結果を統合・一般化し、共通垂線および等分布に関する結果を包括的に拡張する。