[論文レビュー] Equidistribution for nonuniformly expanding dynamical systems

Alexey Korepanov|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非一様に拡張する力学系における観測関数のバーキホフ和について、カップリング手法を確立する。異なる不変測度（例：ルベーグ測度や絶対連続測度）が、それに対応する確率過程が概収束で近いようにカップリング可能であり、明示的な誤差評価が得られることを示す。主な貢献は、メルコムソンとニコルによる非一様に拡張する写像に対する概収束不変性原理の証明における空白を埋め、異なる測度の下での過程を比較するための頑健な枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

Let $T \colon M o M$ be a nonuniformly expanding dynamical system, such as logistic or intermittent map. Let $v \colon M o \mathbb{R}^d$ be an observable and $v_n = \sum_{k=0}^{n-1} v \circ T^k$ denote the Birkhoff sums. Given a probability measure $\mu$ on $M$, we consider $v_n$ as a discrete time random process on the probability space $(M, \mu)$. In smooth ergodic theory there are various natural choices of $\mu$, such as the Lebesgue measure, or the absolutely continuous $T$-invariant measure. They give rise to different random processes. We investigate relation between such processes. We show that in a large class of measures, it is possible to couple (redefine on a new probability space) every two processes so that they are almost surely close to each other, with explicit estimates of closeness. The purpose of this work is to close a gap in the proof of the almost sure invariance principle for nonuniformly hyperbolic transformations by Melbourne and Nicol.

研究の動機と目的

• メルコムソンとニコルによる非一様に拡張する写像の概収束不変性原理の証明における空白を解消すること。
• 位相空間上での異なる確率測度の下で生成されるバーキホフ和から生じる確率過程の関係を調査すること。
• 異なる不変測度の下で生じる過程が概収束で近いようにカップリング可能であるための条件を確立すること。
• このようなカップリングされた過程間の近接性について、明示的な定量的推定値を提供すること。
• 滑らかなエルゴード理論の道具を、非一様に拡張する系へと拡張し、異なる自然測度から誘導される過程を比較すること。

提案手法

• 観測関数 $ v \colon M \to \mathbb{R}^d $ および非一様に拡張する写像 $ T \colon M \to M $ に対して、バーキホフ和 $ v_n = \sum_{k=0}^{n-1} v \circ T^k $ を定義する。
• 測度 $ \mu $（例えばルベーグ測度や絶対連続不変測度）を備えた空間 $ (M, \mu) $ 上での過程 $ v_n $ を確率過程として考える。
• 異なる測度 $ \mu_1 $ と $ \mu_2 $ に対応する2つの過程のカップリングを構築し、共通の確率空間上で再定義することで、概収束の近接性を保証する。
• 共通の基準測度に関する密度の観点から、測度 $ \mu_1 $ と $ \mu_2 $ 間の距離の明示的推定値を用いる。
• 滑らかなエルゴード理論およびカップリングの議論を用いて、異なる測度の下でのバーキホフ和の乖離を制御する。
• 観測関数の正則性および系の相関関数の減衰に依存するカップリング誤差の定量的評価を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様に拡張する系における異なる不変測度の下でのバーキホフ和は、過程が概収束で近くなるようにカップリング可能か？
• RQ2 異なる測度から生じるカップリングされた過程間の距離について、どのような明示的な定量的推定値が得られるか？
• RQ3 カップリング手法は、非一様に拡張する写像に対する概収束不変性原理における技術的空白をどのように解消するか？
• RQ4 バーキホフ和の統計的性質は、不変測度の選択にどの程度依存するか？
• RQ5 システムおよび観測関数にどのような条件下で、誤差を制御可能なこのようなカップリングが存在するか？

主な発見

• ルベーグ測度や絶対連続不変測度を含む広範な不変測度のクラスにおいて、任意の2つの測度の下でのバーキホフ和のカップリングが存在し、その過程は概収束で近い。
• カップリング誤差は明示的に評価可能であり、その評価値は観測関数の正則性および系の相関関数の減衰に依存する。
• この手法により、非一様に拡張する写像の概収束不変性原理の証明における重要な空白が正当に埋められた。
• ロジスティック写像やインタミット写像といった代表的な例にも本結果は適用可能であり、これらは非一様に拡張する系に属する。
• 本フレームワークにより、例えばルベーグ測度や絶対連続不変測度といった異なる自然測度から誘導される確率過程の比較が可能になる。
• カップリング構成は頑健であり、非一様に拡張する力学系における収束性および不変性原理の分析に定量的ツールを提供する。