[論文レビュー] Equidistribution of closed geodesics along random walk trajectories with respect to the harmonic invariant measure

Ilya Gekhtman|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、CAT(-1)空間の等距変換群上の無作為歩行について、典型的な標本路が最終的に双曲的要素を生成し、それらに関連する閉じた測地線が商空間の単位接 bundle 上の調和不変測度に関して等分布することを確立する。この結果はエルゴディック理論と測地線の漸近的追従性に依拠しており、ステップ分布にやや弱いモーメント条件が課せられれば、正規化された測地線測度が調和不変測度に弱収束することを示している。

ABSTRACT

We prove that for suitable random walks on isometry groups of $CAT(-1)$ spaces, typical sample paths eventually land on loxodromic elements which equidistribute with respect to a flow invariant measure on the unit tangent bundle of the quotient space.

研究の動機と目的

• 無作為歩行の典型的な軌道に沿って生成される双曲的要素に関連する閉じた測地線の等分布性を、CAT(-1)空間で確立すること。
• 測地線の極限分布を、調和解析から導かれる不変測度の流れに伴う不変測度として特徴づけること。
• 古典的なボーウェン＝マルギュリス測度を超えて、無作為歩行から生じる調和不変測度への等分布結果を拡張すること。
• ステップ分布の2次のモーメントが有限である条件の下で、正規化された測地線測度が調和不変測度に弱収束することを証明すること。

提案手法

• 商空間の単位接 bundle 上の測地線フローに対するバーキホフのエルゴディック定理を用いて、測地線線の長期的挙動を分析する。
• 補題1.2（部分線形追従性）を適用して、無作為歩行の軌道が境界への測地線線に漸近的に追従することを示す。
• CAT(-1)空間における比較幾何学を用いて、無作為歩行の軌道と得られる双曲的要素の測地線軸とのハウスドルフ距離を制御する。
• 境界上の定常測度の積とR上のルベーグ測度によって定義される不変測度類を、単位接 bundle に引き上げる。
• ポルタマントの定理を適用して、開集合および閉集合の測度に関するliminfおよびlimsupの境界と弱収束を関連付ける。
• G-不変なRadon測度がĥν × ν × Lebの類に属することを根拠とし、それがT¹M上の調和不変測度mに射影されることに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 典型的な無作為歩行の軌道に沿って生成される双曲的要素に関連する閉じた測地線は、商空間上の調和不変測度に関して等分布するか？
• RQ2 幾何的に有限または凸コンパクトな設定において、調和不変測度は古典的なボーウェン＝マルギュリス測度とどのように関係するか？
• RQ3 ステップ分布のどのモーメント条件下で、無作為歩行の軌道に沿った測地線の等分布が成立するか？
• RQ4 測地線フローと境界上の定常測度を用いたエルゴディック理論的手法により、等分布を確立できるか？
• RQ5 n → ∞ のとき、ωₙの軸上の正規化された長さ測度の漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• P-ほとんど everywhere な標本路 ω ∈ G^ℕ に対して、n → ∞ のとき、閉じた測地線 γ_{ωₙ} 上の正規化された測地線測度 D_{ωₙ} は、T¹M 上の調和不変測度 m に弱収束する。
• μ が2次のモーメントをもち、Axiom 1.4 が満たされていると仮定すれば、ĥν × ν × Leb の類に属するG-不変なRadon測度が存在することが保証され、収束が成立する。
• 調和不変測度 m は測地線フローに関してエルゴディックであり、G に放物的要素を含む場合にはボーウェン＝マルギュリス測度に対して特異的である。
• 証明により、Borel集合 A ⊂ T¹M に対して、liminf_{n→∞} D_{ωₙ}(A) ≥ m(int(A)) および limsup_{n→∞} D_{ωₙ}(A) ≤ m(Ā) が成り立つことが示され、弱収束が確認される。
• CAT(-1)空間における比較幾何学のおかげで、測地線軸の小さな摂動に対しても結果が安定しており、無作為歩行の軌道と測地線線との距離を制御できる。
• 主な技術的ステップは、測地線線 γ_{o,ω₊} がAの近傍に費やす時間がAの測度を近似することであり、これが漸近的追従性によりωₙの軸へと転送される。