[論文レビュー] Equidistribution of minimal hypersurfaces for generic metrics

Fernando C. Marques, André Neves+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、次元 $3 \leq n+1 \leq 7$ の閉 $(n+1)$-次元多様体上の $C^{\infty}$ で一般のリーマン計量に対して、リーマン体積測度に関して等分布する、閉かつ滑らかで埋め込まれており、連結な最小超曲面の列が存在することを確立している。証明は、体積スペクトルのウェイエルの法則と、$N$ パラメータの計量変形とシャープのコンパクトネス定理を用いた新規な横断的議論を組み合わせており、これらの超曲面上での積分の重み付き平均が多様体全体の平均に収束することを示している。

ABSTRACT

For almost all Riemannian metrics (in the $C^\infty$ Baire sense) on a closed manifold $M^{n+1}$, $3\leq (n+1)\leq 7$, we prove that there is a sequence of closed, smooth, embedded, connected minimal hypersurfaces that is equidistributed in $M$. This gives a quantitative version of the main result of \cite{irie-marques-neves}, by Irie and the first two authors, that established denseness of minimal hypersurfaces for generic metrics. As in \cite{irie-marques-neves}, the main tool is the Weyl Law for the Volume Spectrum proven by Liokumovich and the first two authors in \cite{liokumovich-marques-neves}.

研究の動機と目的

• 一般計量における最小超曲面の Irie-Marques-Neves の密度定理の定量的強化を確立すること。
• 次元 $3 \leq n+1 \leq 7$ の閉多様体上で、一般の $C^\infty$ リーマン計量に対して、リーマン体積測度に関して等分布する最小超曲面の列が存在することを証明すること。
• 計量摂動と変則的測度の収束を用いて、体積スペクトルのウェイエルの法則を定量的等分布結果へと拡張すること。
• 最小超曲面が $p$-幅を実現するものとして、一般計量において等分布列を構成可能かどうかという問題を解決すること。

提案手法

• リョクムビッチ、マラケス、ネーヴェスによって証明された体積スペクトルのウェイエルの法則を用いる。これは $p$-幅 $\omega_p(M,g)$ と体積の関係を $\lim_{p\to\infty} \omega_p(M,g) p^{-1/(n+1)} = a(n) \text{vol}(M,g)^{n/(n+1)}$ で与える。
• 計量の $N$ パラメータ変形を用いて、1 パラメータ摂動を一般化し、計量変化に関する $p$-幅の微分を制御可能にする。
• ホイットの構造定理と横断的性質を用いて、$p$-幅の微分を最小超曲面の面積微分として計算し、計量変化と変則的測度の挙動を結びつける。
• シャープのコンパクトネス定理を用いて、計量収束下で最小超曲面上に台を持つ変則的測度の収束部分列を抽出する。
• 関数 $g \mapsto \omega_p(g)p^{-1/(n+1)} - a(n)\text{vol}(g)^{n/(n+1)}$ の勾配の凸結合を含む極限議論を適用し、等分布性を導出する。
• 滑らかな関数および対称 $(0,2)$-テンソルの超曲面上での積分の正規化加重平均が多様体全体の平均に収束することを示すことにより、等分布性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $3 \leq n+1 \leq 7$ の閉多様体上の一般計量において、閉かつ滑らかで埋め込まれており、連結な最小超曲面の列が等分布するか？
• RQ2 一般計量摂動下で、体積スペクトルのウェイエルの法則を用いて、最小超曲面の定量的等分布性を導出可能か？
• RQ3 最小超曲面の等分布性は、最小極値法における $p$-幅を実現する超曲面と関係があるか？
• RQ4 本稿の手法を、最小超曲面が特異点集合を持つ可能性がある高次元（$n+1 > 7$）の特異的状況に拡張可能か？
• RQ5 このような等分布列に対して、単位測度 $\mu_{\Sigma_j}/\mu_{\Sigma_j}(M)$ は、正規化されたリーマン体積測度 $\mu/\mu(M)$ に弱収束するか？

主な発見

• 次元 $3 \leq n+1 \leq 7$ の閉多様体 $M^{n+1}$ 上の $C^\infty$-一般計量に対して、閉かつ滑らかで埋め込まれており、連結な最小超曲面の列 $\{\Sigma_j\}$ が存在し、$M$ 内で等分布する。
• 等分布性は、すべての $f \in C^\infty(M)$ に対して、$\lim_{q\to\infty} \frac{1}{\sum_{j=1}^q \text{vol}_g(\Sigma_j)} \sum_{j=1}^q \int_{\Sigma_j} f \, d\Sigma_j = \frac{1}{\text{vol}_g M} \int_M f \, dM$ の収束により定量的に定式化される。
• 同様に、対称 $(0,2)$-テンソルに対しても等分布性が成り立つ：$\lim_{q\to\infty} \frac{1}{\sum_{j=1}^q \text{vol}_g(\Sigma_j)} \sum_{j=1}^q \int_{\Sigma_j} \text{Tr}_{\Sigma_j}(h) \, d\Sigma_j = \frac{1}{\text{vol}_g M} \int_M \frac{n \text{Tr}_M h}{n+1} \, dM$。
• 証明は、$N$ パラメータ計量変形を用いた新規な横断的議論と、関数 $g \mapsto \omega_p(g)p^{-1/(n+1)} - a(n)\text{vol}(g)^{n/(n+1)}$ の臨界点が等分布する最小超曲面を与えるという事実に依存している。
• 関数の非微分可能性に対処するため、勾配の凸結合を含む極限議論を用い、シャープのコンパクトネス定理を適用して収束する変則的測度を抽出した。
• この結果により、正規化された数え上げ測度 $\frac{\sum_{j=1}^q \mu_{\Sigma_j}}{\sum_{j=1}^q \mu_{\Sigma_j}(M)}$ が、正規化されたリーマン体積測度 $\mu/\mu(M)$ に弱収束することが示された。