[論文レビュー] Equidistribution of small subvarieties of an abelian variety

Matthew Baker, Su-Ion Ih|ArXiv.org|Apr 21, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、数体上のアーベル多様体における小で厳密な部分多様体に対して、一般化された等分布定理を確立する。これは、Szpiro-Ullmo-Zhang の等分布定理を点から高次元部分多様体へ拡張したものである。正規化されたハール測度に関して、そのアーベル多様体の複素点上で、 canonical height が 0 に近づくにつれて、このような部分多様体が等分布することを、canonical height とアラケロフ幾何学を用いて証明する。

ABSTRACT

We prove an equidistribution result for small subvarieties of an abelian variety which generalizes the Szpiro-Ullmo-Zhang theorem on equidistribution of small points.

研究の動機と目的

• アーベル多様体内の小部分多様体（高次元）への Szpiro-Ullmo-Zhang の等分布定理の拡張。
• 算術的交線論とヘルミート線束を用いた部分多様体の canonical height 理論の確立。
• 小で厳密な部分多様体の列が、アーベル多様体の複素点上の正規化されたハール測度に関して等分布することの証明。
• 等分布を用いて、部分多様体に対するボゴモロフ予想の高次元版を解決すること。
• 濃縮が真のねじれ部分多様体上に生じないよう保証するため、厳密性条件が等分布性を保証すること。

提案手法

• 数体の整数環上のアーベル多様体のモデルにおける算術的交線論を用いて、部分多様体の高さを定義する。
• モデルと立方的計量を備えたヘルミート線束の列を構成し、arithmetic intersection number の極限として canonical height $\hat{h}_L(Y)$ を定義する。
• 「厳密な」部分多様体の列の概念を導入する。これは、部分列が真のねじれ部分多様体上に存在しないことを意味する。
• 一般化されたボゴモロフ予想（Zhang）を用いて、小で一般の部分多様体が非ねじれ部分多様体にジーザリ密度を持てないことを示す。
• 滑らかな関数による近似を用いた測度の弱収束を適用し、小点の等分布を用いて、測度 $\mu_n$ がハール測度 $\mu$ に収束することを導出する。
• 背理法と極限論を用いて等分布を証明し、測度 $\mu_n$ の極限がハール測度 $\mu$ に一致することを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル多様体上の小点の等分布が、高次元部分多様体へ一般化可能か。
• RQ2 小部分多様体の列がハール測度に関して等分布するための条件は何か。
• RQ3 部分多様体の canonical height とその等分布挙動の関係は何か。
• RQ4 非ねじれ部分多様体に小部分多様体がジーザリ密度を持つのを防ぐ、ボゴモロフ予想の高次元版は存在するか。
• RQ5 小部分多様体の列が等分布しない条件は何か。また、そのような障害はどのように排除できるか。

主な発見

• 部分多様体 $Y$ の canonical height $\hat{h}_L(Y)$ は、立方的計量を備えたヘルミート線束を含む算術的交線数の極限として定義される。
• 部分多様体の列が小かつ厳密であれば、その列は $A(\mathbb{C})$ 上の正規化されたハール測度 $\mu$ に関して等分布する。
• 等分布結果は、$A(\mathbb{C})$ 上のすべての連続関数 $f$ に対して一様に成り立ち、$\int f \, d\mu_n \to \int f \, d\mu$ が成り立つ。
• 厳密性条件により、部分列が真のねじれ部分多様体上に存在するのを防ぎ、低次元トーラス上への濃縮を回避することが可能である。
• 証明は、一般化されたボゴモロフ予想（Zhang）に依拠しており、非ねじれ部分多様体内に小で一般の部分多様体がジーザリ密度を持てないことを示す。
• 小点の等分布（Szpiro-Ullmo-Zhang）が、近似と極限論を用いて部分多様体へ拡張され、証明の主要な要素として用いられる。