[論文レビュー] Equidistribution on homogeneous spaces and the distribution of approximates in Diophantine approximation

Mahbub Alam, Anish Ghosh|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、数体に関連する同次空間における対角的流れの等分布に関する結果を確立し、このような流れにおけるユニモジュラー格子の軌道が、成長が制御された関数に対して等分布することを証明する。これは、Kleinbock, Shi, Weiss が提起した、非有界重み関数に対する等分布に関する問題を解決し、Diophantine近似におけるスパイラル定理を任意の数体へ一般化し、Schmidt および Athreya-Ghosh-Tseng の結果を一般の数体へ拡張し、Diophantine不等式の解の明示的漸近的数え上げを達成する。

ABSTRACT

The present paper is concerned with equidistribution results for certain flows on homogeneous spaces and related questions in Diophantine approximation. Firstly, we answer in the affirmative, a question raised by Kleinbock, Shi and Weiss regarding equidistribution of orbits of arbitrary lattices under diagonal flows and with respect to unbounded functions. We then consider the problem of Diophantine approximation with respect to rationals in a fixed number field. We prove a number field analogue of a famous result of W. M.Schmidt which counts the number of approximates to Diophantine inequalities for a certain class of approximating functions. Further we prove "spiraling" results for the distribution of approximates of Diophantine inequalities in number fields. This generalizes the work of Athreya, Ghosh and Tseng as well as Kleinbock, Shi and Weiss.

研究の動機と目的

• 対角的流れが同次空間上で非有界関数に対して等分布するかどうかという、Kleinbock, Shi, Weiss が提起した問題を解決すること。
• 元来 R^m に対して示されたDiophantine近似におけるスパイラル的性質を、任意の数体へ一般化すること。
• 一般の近似関数を用いたDiophantine不等式の解の数に対する、数体におけるSchmidtの漸近的数え上げの類似形を確立すること。
• Q から任意の数体へと、格子の重み付き軌道の等分布結果を拡張することを証明すること。
• 数体設定において、Siegel変換と SL_d(K_S)/SL_d(O) 上の等分布を用いた枠組みを構築すること。

提案手法

• Shi の、SL_d(K_S)/SL_d(O) 上の単心的流れに対する等分布定理を用いて、対角的流れにおけるほとんどすべての軌道の一般性を確立する。
• 関数が部分格子 Λ に対する max{d(Λ′)^{-1}} を用いて定義される適切な写像 α(Λ) によって有界化される関数空間 Cα(X) を定義する。
• K^d_S 上のRiemann可積分関数 f に対して、bf(Λ) = ∑_{v≠0} f(v) を用いて、X 上の関数積分と K^d_S 上の体積積分との関係を確立する。
• コンパクト台付き連続関数による近似と弱-*収束を用いて、有界連続関数に対する等分布を Cα(X) 関数へ拡張する。
• 格子点の数え上げと測度の制御を活用し、アニュラスおよび球の特性関数との比較によって等分布を証明する。
• スケーリングと対角的流れにおける不変性を用いて、Diophantine不等式の解の数え上げと K^d_S 内の関連集合の体積との漸近的同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニモジュラー格子の軌道 {gt∆ϑ} が、Cα(X) 内の非有界関数 ψ に対して、同次空間 G/Γ 上で等分布するか？
• RQ2 R^m におけるDiophantine近似のスパイラル現象を、数体へ一般化できるか？ 特に、方向ベクトルが球面上で等分布するか？
• RQ3 一般の近似関数を用いた数体におけるDiophantine不等式の解の漸近的数え上げはいかほどか？
• RQ4 Q から任意の数体へと、重み付き軌道の等分布結果を拡張できるか？ また、数体の構造は数え上げにどのように影響するか？
• RQ5 K^d_S 上のRiemann可積分関数のSiegel変換は、対角的流れ下でどのように振る舞い、X 上の不変測度と何の関係があるか？

主な発見

• ほとんどすべての ϑ ∈ M に対して、軌道 {gt∆ϑ} は任意の ψ ∈ Cα(X) に対して等分布する。すなわち、lim_{T→∞} (1/T)∫₀ᵀ ψ(gt∆ϑ) dt = ∫_X ψ dµ が成り立つ。
• 本稿は、Kleinbock, Shi, Weiss が提起した問題を解決し、従来の有界連続関数に限られていた結果を、Cα(X) 内の非有界関数へ拡張した。
• Schmidtの定理の数体版を証明した。重み関数を用いたDiophantine不等式の解の数は、K^d_S 内の対応する集合の体積と漸近的に同値である。
• 可測集合 A ⊆ S^{m-1} に対する近似解の数関数 N(T, A) は、lim_{T→∞} N(T, A)/N(T) = vol(A) を満たす。これは、Athreya, Ghosh, Tseng の結果を数体へ一般化したものである。
• 任意の可測集合 A ⊆ S^{m-1} と T > 0 に対して、方向が A 内にある近似解の割合は、A の正規化された表面測度に収束する。これは、近似関数が Cα(X) 内の一般関数で重み付けされていても成り立つ。
• 重み付きDiophantine不等式の解の集合の漸近的体積が、同次空間上での特性関数のSiegel変換の積分と等しいことが、等分布を用いて示された。