[論文レビュー] Equidistribution results for singular metrics on line bundles

Dan Coman, George Marinescu|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特異的正接続を持つ線束に備わったランダムな正則セクションの共通零点およびFubini-Studyカレントの等分布性に関する結果を確立する。Bergmanカーネルに関する弱い漸近的条件の下で、スケーリングされたFubini-Studyカレントおよび期待零点カレントが、特異的接続の曲率カレントに弱収束することを証明する。これは、Tianの可積分性定理を、コンpactな解析的部分集合上で制御された特異性を持つ特異的設定に拡張するものである。

ABSTRACT

Let L be a holomorphic line bundle with a positively curved singular Hermitian metric over a complex manifold X. One can define naturally the sequence of Fubini-Study currents associated to the space of square integrable holomorphic sections of the p-th tensor powers of L. Assuming that the singular set of the metric is contained in a compact analytic subset of X and that the logarithm of the Bergman kernel function associated to the p-th tensor power of L (defined outside the singular set) grows like o(p) as p tends to infinity, we prove the following: 1) the k-th power of the Fubini-Study currents converge weakly on the whole X to the k-th power of the curvature current of L. 2) the expectations of the common zeros of a random k-tuple of square integrable holomorphic sections converge weakly in the sense of currents to to the k-th power of the curvature current of L. Here k is so that the codimension of the singular set of the metric is greater or equal as k. Our weak asymptotic condition on the Bergman kernel function is known to hold in many cases, as it is a consequence of its asymptotic expansion. We also prove it here in a quite general setting. We then show that many important geometric situations (singular metrics on big line bundles, Kaehler-Einstein metrics on Zariski-open sets, artihmetic quotients) fit into our framework.

研究の動機と目的

• Fubini-Studyカレントの漸近的等分布性に関するTianの定理を、特異的正接続を持つ正則線束へと拡張すること。
• 線束 $L$ の接続 $h$ がコンパクトな解析的部分多様体 $\Sigma$ に沿って特異的である場合、$L^2$-正則セクションに関連するカレントの収束を扱うこと。
• ランダムな $k$-重のセクションの共通零点の期待カレントが、曲率カレント $c_1(L,h)^k$ に弱収束することを確立すること。
• 一般の設定において、$X\setminus\Sigma$ 上のBergmanカーネル関数が $o(p)$ の成長条件を満たすことを示し、グローバル収束を可能にする。

提案手法

• $X\setminus\Sigma$ 上の $L^2$-正則セクションの正規直交基底に関連するKodaira写像を用いて、Fubini-Studyカレント $\gamma_p$ を定義する。
• 特異的接続 $h$ を $X\setminus\Sigma$ 上で滑らかに摂動する $h_\varepsilon$ を構成し、接続と曲率の正則性を保証するための特異化除去技術を用いる。
• 強擬凸領域における境界条件付き $\overline{\partial}$-Neumann法を適用し、$\overline{\partial}$-ラプラシアンのスペクトルギャップ推定を得る。
• 境界項を含むBochner-Kodaira-Nakano公式を用いて、$X\setminus\Sigma$ のコンパクト部分集合上でBergmanカーネル関数の完全な漸近展開を確立する。
• スペクトルギャップ推定と $\overline{\partial}$-Neumann法を用いて、一般の幾何的仮定（例えば、ビッグ線束や算術的商）の下で、Bergmanカーネル関数の $o(p)$ 成長条件が満たされることを証明する。
• 曲率カレント $c_1(L,h)$ 及びその $k$ 乗を用いて、$\gamma_p^k$ 及び期待零点カレントの弱極限を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接続 $h$ がコンパクトな解析的部分多様体 $\Sigma$ に沿って特異的である場合、スケーリングされたFubini-Studyカレント $\gamma_p^k / p^k$ の列が、多様体全体 $X$ 上で $c_1(L,h)^k$ に弱収束するか？
• RQ2 同じ特異的接続仮定の下で、$L^2$-正則セクションの $k$-重のランダムな組の共通零点の期待カレントが、$c_1(L,h)^k$ に弱収束するか？
• RQ3 Bergmanカーネル関数が $X\setminus\Sigma$ 上で $p \to \infty$ のとき $o(p)$ のように成長するための幾何的条件は何か？
• RQ4 Tianの定理は、ビッグ線束上または負のリッチ曲率が有界なZariski開集合上で定義された特異的接続へとどの程度一般化可能か？
• RQ5 特に、乗数イデアル sheaf や算術的商の文脈において、特異性の存在下でBergmanカーネルの漸近的挙動をどのように制御できるか？

主な発見

• Bergmanカーネルが $o(p)$ の成長を示す限り、接続 $h$ がコンパクトな解析的部分多様体 $\Sigma$ に沿って特異的であっても、$p \to \infty$ のとき $\gamma_p^k$ は $X$ 上で $c_1(L,h)^k$ に弱収束する。
• 条件 $\operatorname{codim}\Sigma \geq k$ の下で、ランダムな $k$-重の $L^2$-正則セクションの共通零点の期待カレントは、$c_1(L,h)^k$ に弱収束する。
• スペクトルギャップ推定と $\overline{\partial}$-Neumann法を用いて、一般の設定でBergmanカーネル関数の $o(p)$ 成長条件が正当化される。
• Bergmanカーネル関数の漸近展開は、$X\setminus\Sigma$ のコンパクト部分集合上で成り立つため、収束結果が得られる。
• 結果は、ビッグ線束上の特異的接続、Zariski開集合上のKähler-Einstein接続、算術的商など、重要な幾何的設定に適用可能である。
• 乗数イデアル層や $1$-凸多様体の文脈へも、適切な曲率および接続仮定の下で同様の収束定理が拡張可能である。