[論文レビュー] Equidistribution speed towards the Green current for endomorphisms of P^k

Johan Taflin|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間 $\mathbb{P}^k$ 上の正則自己準同型の反復作用に対して、超曲面の指数的等分布速度を確立する。複素ポテンシャル論と体積推定を用いて、一般の超曲面に対して、引き戻し $d^{-n}(f^n)^*([H])$ がグリーンカレント $T$ に $\lesssim (\lambda/d)^{n\beta/2}$ の速度で収束することを証明し、codimension one に対する予想を明示的な定量的評価で解決する。

ABSTRACT

Let f be a non-invertible holomorphic endomorphism of P^k. For a hypersurface H of P^k, generic in the Zariski sense, we give an explicit speed of convergence of f^{-n}(H) towards the dynamical Green (1,1)-current of f.

研究の動機と目的

• $\mathbb{P}^k$ 上の正則自己準同型に対するDinhとSibonyによる、超曲面の指数的等分布速度に関する予想を証明すること。
• 一般の超曲面 $H$ の次数 $s$ に対して、$d^{-n}(f^n)^*([H])$ のグリーンカレント $T$ への収束速度を定量的に確立すること。
• テスト形式のホルダーノルムと写像 $f$ の代数的次数 $d$ に基づいた明示的な減衰推定を提供すること。
• 複素ポテンシャル論におけるロジャシエヴィッチ型不等式とスーパーポテンシャル技法を用いて、特異点と例外的集合を扱うこと。

提案手法

• 複素ポテンシャル論を用いて、カレント $S_n = d^{-n}(f^n)^*(S)$ の動的ポテンシャル $u_n$ を分析し、$T$ への収束を $u_n$ の $L^1$ ノルムに関連付ける。
• 擬・シュレーディンガー関数の一般化されたホルンダータイプ推定を用いて、部分集合 $K_n = \{u_n \leq -(\lambda/d)^n\}$ の部分集合を制御する。
• 特異な解析的集合におけるロジャシエヴィッチ不等式を適用し、$f^n$ による小さな球の拡張を推定することで、体積制御に不可欠な要素を得る。
• 例外的挙動を捉えるために、周期的で不可約な解析的集合の有限族 $\mathscr{A}_\lambda$ を構成し、問題を不変な解析的集合へ還元する。
• 反復回数に関する帰納法を用いて、$f^n(K_n)$ が半径 $r_n$ の球を含むことを示し、$r_n \sim (\lambda_3/d)^{\beta n}$ のように増加することを導き、収束が遅すぎると矛盾が生じることを示す。
• 例外的集合の外側での体積収縮を活用し、再帰的半径更新 $r_{i+1} = A(t_n/2)^N r_i^\delta$ を用いて、一様な指数的評価を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素射影空間 $\mathbb{P}^k$ 上の正則自己準同型の反復作用における、超曲面のグリーンカレントへの等分布の正確な速度は何か？
• RQ2 codimension one のカレントに対して、予想される指数的収束速度 $d^{-n}(f^n)^*([H]) \to sT$ が、明示的な定量的評価を伴って確立可能か？
• RQ3 特異点と周期的解析的集合は収束速度にどのように影響し、複素ポテンシャル論においてどのように制御可能か？
• RQ4 非コンパクトな擬・シュレーディンガー関数の族に対して、体積推定とホルンダータイプ不等式をどの程度適応可能か？

主な発見

• 本稿は、任意の質量 1 の正の閉 $(1,1)$-カレント $S$ に対して、$\mathscr{A}_\lambda$ と呼ばれる周期的解析的集合の有限族上で $L^1$ ノルムに有界な動的ポテンシャル $u$ を持つ場合、列 $S_n = d^{-n}(f^n)^*(S)$ がグリーンカレント $T$ に指数的速さで収束することを証明している。
• 任意の $0 < \beta \leq 2$ および $\phi \in \mathscr{C}^\beta(\mathbb{P}^k)$ に対して、収束は $|\langle S_n - T, \phi \rangle| \leq A \|\phi\|_{\mathscr{C}^\beta} (\lambda/d)^{n\beta/2}$ を満たし、$A$ は $n$, $\phi$, $S$ に依存しない。
• 収束速度は、$1 < \lambda < d$ である比 $\lambda/d$ によって定量的に制御され、指数 $\beta$ はテスト形式の正則性を反映している。
• 証明は、部分集合 $K_n = \{u_n \leq -(\lambda/d)^n\}$ が半径 $r_n \sim (\lambda_3/d)^{\beta n}$ の球を含むことを示すことに依拠しており、収束が指数的より遅いと矛盾が生じる。
• 体積増加推定を用いて、集合 $\mathscr{N} = \bigcup_u \{n \geq 1 \mid \|u_n\|_{L^p(X)} \geq (\lambda/d)^n\}$ の有限性が示され、$u_n$ の一様な $L^p$ バインドが得られる。
• 結果は、$\mathscr{A}_\lambda$ を $\mathscr{A}_\lambda$ のすべての成分と交わる任意の解析的集合に置き換えても成り立つことが示され、特異性に対して強い耐性を持つ。