[論文レビュー] Equilibria of homogeneous functionals in the fair-competition regime

Vincent Calvez, José A. Carrillo+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2016

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ひとこと要約

本稿は、拡散と凝集の両方が同様のスケーリングを示す公平な競合状態における、同次的関数の均衡状態を調査する。特異核の場合、グローバル均衡状態は唯一、臨界的パラメータ値でのみ存在し、修正されたHLS不等式の最適化子である。一方、滑らかな核の場合、回転対称で非増加な定常解は存在しないが、拡散が強すぎない場合には正の自己相似解が出現する。

ABSTRACT

We consider macroscopic descriptions of particles where repulsion is modelled by non-linear power-law diffusion and attraction by a homogeneous singular/smooth kernel leading to variants of the Keller-Segel model of chemotaxis. We analyse the regime in which both homogeneities scale the same with respect to dilations, that we coin as fair-competition. In the singular kernel case, we show that existence of global equilibria can only happen at a certain critical value and they are characterised as optimisers of a variant of HLS inequalities. We also study the existence of self-similar solutions for the sub-critical case, or equivalently of optimisers of rescaled free energies. These optimisers are shown to be compactly supported radially symmetric and non-increasing stationary solutions of the non-linear Keller-Segel equation. On the other hand, we show that no radially symmetric non-increasing stationary solutions exist in the smooth kernel case, implying that there is no criticality. However, we show the existence of positive self-similar solutions for all values of the parameter under the condition that diffusion is not too fast. We finally illustrate some of the open problems in the smooth kernel case by numerical experiments.

研究の動機と目的

• 非局所的かつ非凸的な自由エネルギー関数のクラスに対する均衡状態の存在と構造を分析すること。この関数は、競合する拡散と凝集を有する粒子系をモデル化する。
• 拡散と相互作用のホモジニアティが拡大変換に対して同一にスケーリングされる「公平な競合状態」を特定すること。
• 自由エネルギー関数の最小化子が存在するかを特定し、特に回転対称性とコンパクトな台の性質を特徴付けること。
• 特異核および滑らかな核の両状況における自己相似解および定常状態の存在を調査すること。
• 特異核の場合の臨界性の役割と、滑らかな核の場合の回転対称性の欠如を明確にすること。

提案手法

• 非線形拡散項と非局所的相互作用項を組み合わせた自由エネルギー関数の形式的取り扱い。拡散指数 $ m $ と相互作用の同次性 $ k $ をパrameterとする。
• 第一変分 $ \mathcal{T}_{m,k}[ ho] $ から導かれるEuler-Lagrange方程式を用いた関数の臨界点の分析により、定常非線形PDEに到達する。
• 変分法と鋭い不等式（例：修正されたHardy-Littlewood-Sobolev不等式）を用いて、特異核の場合の最小化子を特徴付ける。
• 特異状態における原点近傍での核およびその勾配の振る舞いを調べるための漸近展開技術と超幾何関数の解析。
• Wasserstein距離における勾配流構造の応用により、PDEのダイナミクスと自由エネルギーの減少、均衡状態の選択を結びつける。
• 滑らかな核の場合の未解決問題を図示する数値実験。特に非回転対称的または非コンパクトな解に関するもの。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由エネルギー関数は、公平な競合状態において、どのような条件下でグローバル最小化子を有するか？
• RQ2 特異核の場合に均衡状態が存在する唯一の臨界的パラメータ値は、どのように特徴づけられるか？
• RQ3 滑らかな核の場合、自己相似ダイナミクスが存在するにもかかわらず、なぜ回転対称で非増加な定常解が存在しないのか？
• RQ4 滑らかな核の場合、拡散が強すぎない限り、すべてのパrameter値に対して正の自己相似解を構成できるか？
• RQ5 特異核と滑らかな核の両状態における均衡状態の構造的および定性的な相違は何か？

主な発見

• 特異核の場合（$ -N < k < 2-N $）、グローバル均衡状態は、相互作用強度 $ \chi $ の唯一の臨界的値でのみ存在し、修正されたHardy-Littlewood-Sobolev不等式の最適化子である。
• これらの最小化子は、コンパクトに台を持つ、回転対称で非増加であり、臨界的 $ \chi $ での存在には鋭い閾値がある。
• 特異核の亜臨界的状態では、自己相似解が存在し、スケーリングされた自由エネルギーの最適化子として特徴づけられる。
• 滑らかな核の場合（$ k > 0 $）、回転対称で非増加な定常解は存在せず、臨界性の欠如が示される。
• 滑らかな核の場合、拡散指数 $ m $ が大きすぎない限り（すなわち拡散が速くなりすぎない限り）、すべてのパrameter値に対して正の自己相似解が存在する。
• 数値実験により、滑らかな核の場合に複雑な非回転対称的挙動が示され、定常状態の分類に関する未解決問題が示唆される。