[論文レビュー] Equilibrium concepts for time-inconsistent stopping problems in continuous time

Erhan Bayraktar, Jingjie Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2019

Auction Theory and Applications参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、連続時間における時間に一貫しない停止問題に対して、従来の概念よりもより正確に逸脱を捉えるために、サブゲーム完全ナッシュ均衡を精緻化する、強い均衡の新概念を導入する。対象となる状態過程が連続時間マルコフ連鎖であり、割引関数が対数劣加法的である場合、最適な穏やかな均衡が常に強い均衡であることを証明し、それらを直接構成するための新しい反復法を提案することで、存在性を保証するとともに、非指数的割引モデルにおける均衡選択問題を解消する。

ABSTRACT

A \emph{new} notion of equilibrium, which we call \emph{strong equilibrium}, is introduced for time-inconsistent stopping problems in continuous time. Compared to the existing notions introduced in ArXiv: 1502.03998 and ArXiv: 1709.05181, which in this paper are called \emph{mild equilibrium} and \emph{weak equilibrium} respectively, a strong equilibrium captures the idea of subgame perfect Nash equilibrium more accurately. When the state process is a continuous-time Markov chain and the discount function is log sub-additive, we show that an optimal mild equilibrium is always a strong equilibrium. Moreover, we provide a new iteration method that can directly construct an optimal mild equilibrium and thus also prove its existence.

研究の動機と目的

• 時間に一貫しない停止問題におけるサブゲーム完全ナッシュ均衡をより正確に捉えるために、従来の均衡概念（穏やかな均衡および弱い均衡）の限界を解消すること。
• 戦略的整合性を時間的によりよく反映するため、停止から継続への逸脱を検出できる、強い均衡の概念を導入し、形式化すること。
• 状態過程が連続時間マルコフ過程であり、割引関数が対数劣加法的である場合、最適穏やかな均衡が常に強い均衡であることを証明すること。
• 最適穏やかな均衡を直接構成できる新しい反復法を開発し、連続時間設定におけるその存在性を示すこと。
• 2状態マルコフ連鎖の例を用いて、均衡の種類の厳密な階層関係：最適穏やかな均衡 ⊊ 強い均衡 ⊊ 弱い均衡 ⊊ 穏やかな均衡 を明確にすること。

提案手法

• 強い均衡という新たな均衡概念を導入し、任意の時点における自己が、即時的に停止領域に戻る場合を含めて、均衡戦略からの逸脱のインcentiveを持たないことを要件とする。
• 強い均衡を2つの条件で定義する：(1) 停止領域外の状態では、継続が即時の停止よりも高い期待価値をもたらさなければならない；(2) 停止領域内の状態では、停止が即時の継続よりも高い価値をもたらさなければならない、すなわち戻り時間の期待値が0であっても同様である。
• 非指数的割引関数、特に対数劣加法的割引関数を対象として、連続時間マルコフ連鎖への概念の適用を行う。
• 初期の停止集合から出発し、価値関数と停止時間の期待値を用いて、反復的に改善する新しい反復法を構築する。この反復法により、最適穏やかな均衡が直接構成可能であり、その存在性が保証される。
• εの2次までの摂動解析を用いて、とくに戻り時間が0である状態において強い均衡条件をテストする。E[δ(ε)Xε]の展開における1次および2次項の符号を分析することで行う。
• 2状態連続時間マルコフ連鎖の生成子行列を用いて遷移をモデル化し、均衡条件のテストに用いる遷移確率をo(ε²)まで計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間における時間に一貫しない停止問題において、サブゲーム完全ナッシュ均衡をより正確に捉えることができる、より強い均衡概念を定義できるか？
• RQ2 どのような条件下で、最適穏やかな均衡が強い均衡であるか？
• RQ3 提案された反復法は、連続時間における最適穏やかな均衡の存在性を保証するか？
• RQ4 穏やかな均衡、弱い均衡、強い均衡の間の厳密な階層関係は何か？具体的な例を用いて示せるか？
• RQ5 非指数的割引関数では、最適でない場合に、弱い均衡が強い均衡でないケースが生じ得るか？

主な発見

• 状態過程が連続時間マルコフ連鎖であり、割引関数が対数劣加法的である場合、最適穏やかな均衡は常に強い均衡である。
• 本稿では、最適穏やかな均衡を直接生成できる新しい反復法を構築し、連続時間におけるその存在性を示した。
• 2状態マルコフ連鎖モデルにおいて、均衡の階層関係は厳密である：最適穏やかな均衡 ⊊ 強い均衡 ⊊ 弱い均衡 ⊊ 穏やかな均衡。適切なパrameter選択により、各レベルが次のレベルに真に含まれる。
• 双曲的割引関数δ(t) = 1/(1 + βt)では、割引関数の2次特性のおかげで、すべての弱い均衡が強い均衡である。
• δ(t) = (1 + βt)^(-1/2)の場合、パラメータの範囲によっては、{a,b}が弱い均衡ではあるが強い均衡ではない例が存在し、かつその集合は最適穏やかな均衡でもない。これは、弱い均衡が強い均衡でない、あるいは最適でない場合があることを示している。
• {a,b}が強い均衡でない理由は、E[δ(ε)Xε]の展開における2次項が負であることに起因し、不等式λa + λb < (δ''(0) - 2(δ'(0))²)/(-δ'(0))で特徴付けられる。非指数的割引関数下では、このようなケースが存在可能であることが示された。