[論文レビュー] Equilibrium configurations for generalized Frenkel-Kontorova models on quasicrystals

Rodrigo Treviño|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2017

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限局所複雑性を有する自己相似的・再帰的デローネ集合から導かれる非周期的ポテンシャルを用いて、準周期的構造上における一般化されたフレンケル＝コンタローヴァ模型の均衡配置の存在を確立する。反統合極限技法と配置空間上の収縮写像の議論を用い、回転ベクトルが所与のものである場合、多変数および非周期的設定下でも、ポテンシャルおよび相互作用に関するややいなやな滑らかさと非退化性の条件下で、均衡解が存在することを証明する。

ABSTRACT

I study classes of generalized Frenkel-Kontorova models whose potentials are given by almost-periodic functions which are closely related to aperiodic Delone sets of finite local complexity. Since such Delone sets serve as good models for quasicrytals, this setup presents Frenkel-Kontorova models for the type of aperiodic crystals which have been discovered since Shechtman's discovery of quasicrystals. Here I consider models with configurations $u:\mathbb{Z}^r ightarrow \mathbb{R}^d$, where $d$ is the dimension of the quasicrystal, for any $r$ and $d$. The almost-periodic functions used for potentials are called pattern-equivariant and I show that if the interactions of the model satisfies a mild $C^2$ requirement, and if the potential satisfies a mild non-degeneracy assumption, then there exist equilibrium configurations of any prescribed rotation rotation number/vector/plane. The assumptions are general enough to satisfy the classical Frenkel-Kontorova models and its multidimensional analogues. The proof uses the idea of the anti-integrable limit.

研究の動機と目的

• デローネ集合から導かれる準周期的ポテンシャルを用いて、周期的でないクオーシャークリスタル構造への古典的フレンケル＝コンタローヴァ模型の拡張を図ること。
• 多変数および非周期的設定下で、任意の回転ベクトルを有する一般化モデルに対する均衡配置の存在を確立すること。
• 古典的変分的および力学的枠組みを、高ランク格子（Z^r）および高次元配置空間（R^d）へ一般化すること。
• ポテンシャルおよび相互作用項に関する最小限の正則性および非退化性仮定の下で、存在結果を証明すること。
• 有限局所複雑性および自己相似的スケーリングを有する系における均衡解のフレームワークを構築すること。クオーシャークリスタル物理学に関連する。

提案手法

• モデルは Z^r 上で定義され、配置 u: Z^r → R^d を用い、有限部分集合 B ⊂ Z^r にインデックスが付いた相互作用 {HB} を用いる。
• 作用関数 A(u) は、局所的相互作用 HB(u) とポテンシャル V(ui) を組み合わせたものであり、V は C3 かつ Λ-不変（パターン不変）であると仮定する。
• 均衡配置は変分方程式 ∇ui A(u) = 0 の解として得られ、これは離散ラプラシアンおよびポテンシャル勾配を含む非線形系に帰着される。
• 反統合極限技法は、デローネ集合 Λ の自己相似的拡張に関連するスケーリングパラメータ A^{-n} を導入することで用いられる。
• 収縮写像の議論は、ある基準配置 a ∈ W^{η,h,R,n}_V に近い配置の空間に適用され、逆ポテンシャル勾配と局所的相互作用項を用いて定義された写像 Φ を用いる。
• 証明は、K-写像（∇V の逆写像）の二階微分に対する一様な有界性およびアフィン変換 A の拡張固有値 λ_d > 1 からの減衰推定に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の回転ベクトルを有するクオーシャークリスタル構造上における一般化されたフレンケル＝コンタローヴァ模型に対して、均衡配置が存在しうるか？
• RQ2 ポテンシャルおよび相互作用項にどのような条件が課されれば、非周期的かつ有限局所複雑性を持つ設定下で、このような均衡解の存在が保証されるか？
• RQ3 反統合極限法は、自己相似的スケーリングを有するクオーシャークリスタル格子にどのように適合可能か？
• RQ4 古典的結果である回転数および不変集合の概念は、多変数および非周期的系へどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 配置空間における任意の所与の漸近的挙動 h(i) = u(i)/i を満たす均衡解の存在は保証可能か？

主な発見

• 任意の所与の回転ベクトル h: Z^r → R^d に対して、ポテンシャル V がややいなやな C3 性および非退化性を満たす条件下で、変分方程式 (5) を満たす少なくとも1つの均衡配置 u ∈ C^{h}_{Z^{r},d} が存在する。
• 自己相似的かつ再帰的なデローネ集合からなる有限局所複雑性を持つ構造上における一般化されたフレンケル＝コンタローヴァ模型に対して、このような均衡配置の存在が保証される。
• 証明により、十分大きな η および R に対して、すべての n ∈ N ∪ {0} に対して集合 W^{η,h,R,n}_V が空でないことが示され、収縮写像のための基準配置 a の存在が保証される。
• 近傍 Π^{ε,h}_{V,η}(a) 上に、一意な不動点を有する収縮写像 Φ_{ε,h,n,V,a,η} が構成され、それが均衡配置に対応する。
• 収縮性は、アフィン変換 A の拡張固有値 λ_d > 1 からの指数的減衰により達成され、反復スキームの一様収束が保証される。
• 得られた均衡配置 u は ∥u_i − h(i)∥ < ∞ を満たし、離散オイラー＝ラグランジュ方程式 (14) の解であることが確認され、物理的意味を有することが裏付けられる。