[論文レビュー] Equilibrium for Time-Inconsistent Stochastic Linear--Quadratic Control under Constraint

Ying Hu, Jianhui Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、制御入力制約下における時間非整合的確率的線形二次（LQ）制御問題を解くための新規手法を開発する。スパイク摂動と確率的最適原理を用いて均衡戦略を導出し、前向き・後向き確率的微分方程式（FBSDE）を用いて均衡解の存在および一意性を確立する。また、凸錐制約下における平均分散ポートフォリオ選択について、明示的かつ一意的な解を提示する。

ABSTRACT

In this paper, we study a class of stochastic time-inconsistent linear-quadratic (LQ) control problems with control input constraints. These problems are investigated within the more general framework associated with random coefficients. This paper aims to further develop a new methodology, which fundamentally differs from those in the standard control (without constraints) theory in the literature, to cope with the mathematical difficulties raised due to the presence of input constraints. We first prove that the existence of an equilibrium solution is equivalent to the existence of a solution to some forward-backward stochastic differential equations with constraints. Under convex cone constraint, an explicit solution to equilibrium for mean-variance portfolio selection can be obtained and proved to be unique. Finally, some examples are discussed to shed light on the comparison between our established results and standard control theory.

研究の動機と目的

• 時間非整合的確率的LQ制御問題における制御入力制約が引き起こす数学的課題に対処すること。
• 標準的制御理論とは根本的に異なる枠組みを構築し、特に制約の取り扱いに特化すること。
• 均衡解の存在と制約付きFBSDEの可解性の間の同値性を確立すること。
• 凸錐制約下における平均分散ポートフォリオ選択の明示的かつ一意的な均衡解を導出すること。
• オープンループ均衡制御とフィードバックおよび事前コミット制御の性能を比較し、優れた効率性を示すこと。

提案手法

• フィードバック形式に依存しないように、オープンループ制御のスパイク摂動を用いて均衡を定義する。
• 制約下での均衡の必要十分条件を導出するために、確率的最適原理を適用する。
• 均衡条件を制御制約を伴う前向き・後向き確率的微分方程式（FBSDE）の可解性に還元する。
• 制御空間における凸錐制約を扱うために、集合Kへの射影作用素を導入する。
• ドリフト係数を制約集合に射影したものを含む線形フィードバック関数の形で、明示的な均衡制御を導出する。
• 動的システムに確率的係数を導入し、決定的ケースに限定されない適用可能性を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御入力が制約を受ける場合、時間非整合的LQ制御問題における均衡戦略はどのように定義され、特徴づけられるか？
• RQ2 均衡解の存在と制約付きFBSDE系の可解性の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 凸錐制約下における平均分散ポートフォリオ選択に対して、明示的かつ一意的な均衡解を導出できるか？
• RQ4 目的関数値の観点から、オープンループ均衡制御はフィードバックおよび事前コミット制御と比べてどのように性能が異なるか？
• RQ5 [3]で提示されたフィードバックに基づく均衡と、本稿で導出されたオープンループ均衡の違いは何か？性能差の背後にはどのような理由があるか？

主な発見

• 均衡解の存在は、制約付き前向き・後向き確率的微分方程式（FBSDE）の可解性と同値である。
• 凸錐制約下では、平均分散ポートフォリオ選択に対して明示的かつ一意的な均衡制御が導出された。
• オープンループ均衡制御は、事前コミット制御およびフィードバックベースの制御よりも優れた目的関数値を達成し、明示的な式で $ J(0,x_0;u^*) > J(0,x_0;u^{*pre}) $ および $ J(0,x_0;u^{*fbe}) > J(0,x_0;u^{*pre}) $ が示された。
• オープンループ均衡の線形係数は、[3]のフィードバックアプローチで用いられる積分方程式の解ではないため、オープンループとフィードバックの均衡定義に根本的な違いがあることが確認された。
• 本手法は確率的係数を持つモデルにも適用可能であり、[3]で用いられるHJBアプローチでは適用できないため、既存理論の適用範囲を拡張した。
• 性能比較の結果、オープンループ均衡制御は、平均分散目的関数の最小化という観点から、フィードバックおよび事前コミット制御をすべて上回ることが示された。