[論文レビュー] Equilibrium order parameters of liquid crystals in the Landau-De Gennes theory

Apala Majumdar|ArXiv.org|Aug 13, 2008

Liquid Crystal Research Advancements参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ランダウ＝デギーンズ理論を用いてネマチック液晶における平衡状態の秩序パラメータを分析し、温度および物性定数の関数としてスカラー秩序パラメータの明示的上限を導出する。低温領域において理論が物理的に不自然な大きな秩序パラメータ（>1）を予測する領域を特定し、確率的2階モーメント制約に違反するが、Ginzburg-Landau型ペナルティを用いて物理的境界を強制する修正エネルギー関数を提案する。

ABSTRACT

We study nematic liquid crystal configurations in confined geometries within the continuum Landau--De Gennes theory. These nematic configurations are mathematically described by symmetric, traceless two-tensor fields, known as $\Qvec$-tensor order parameter fields. We obtain explicit upper bounds for the order parameters of equilibrium liquid crystal configurations in terms of the temperature, material constants, boundary conditions and the domain geometry. These bounds are compared with the bounds predicted by the statistical mechanics definition of the $\Qvec$-tensor order parameter. They give quantitative information about the temperature regimes for which the Landau-De Gennes definition and the statistical mechanics definition of the $\Qvec$-tensor order parameter agree and the temperature regimes for which the two definitions fail to agree. For the temperature regimes where the two definitions do not agree, we discuss possible alternatives.

研究の動機と目的

• ランダウ＝デギーンズ理論が温度領域全体にわたり物理的に現実的なスカラー秩序パラメータを予測できるかを検証すること。
• ランダウ＝デギーンズ理論の予測と、Qテンソル秩序パラメータの確率的2階モーメント定義との乖離を定量化すること。
• 理論が2階モーメント定義によって課される固有値制約を満たさない温度領域を同定すること。
• 物理的境界を強制するように修正されたランダウ＝デギーンズエネルギー関数を提案し、確率的制約と整合性を保つこと。

提案手法

• ランダウ＝デギーンズフレームワークにおける非線形楕円型系に対して、最大原理型の議論を用いて平衡状態のスカラー秩序パラメータの上限を導出する。
• 導出された上限を、Qテンソルの確率的2階モーメント定義から得られる固有値制約（最大固有値 ≤ 1/√6）と比較する。
• 秩序パラメータが確率的境界に違反する場合に発散するGinzburg-Landau型ペナルティを備えた修正バルクエネルギー密度 $ f_{B, ho}({f Q}) = f_B({f Q}) + f_ ho(|{f Q}|) $ を導入する。
• 修正エネルギーの定常点を解析し、それが依然として単軸または無秩序であることを示し、一階のネマチック＝無秩序転移を保存することを示す。
• 固定された2階モーメント $ {f Q} $ を持つ確率分布 $ ho $ における変分最小化を用い、修正自由エネルギー $ ilde{ ho}({f Q}) = ext{inf}_{ ho ext{ s.t. } {f Q} = ho_2} ext{エントロピー項} - ext{相互作用エネルギー} $ を得る。
• 極限 $ \rho \to 0 $ において、修正関数 $ F_\rho $ が物理的境界 $ |{\bf Q}| \to 1/\text{sqrt}(6) $ を満たし、すべての温度領域で2階モーメント定義と整合することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダウ＝デギーンズ理論のスカラー秩序パラメータ予測が、Qテンソルの確率的2階モーメント定義に違反する温度領域はどれか？
• RQ2 ランダウ＝デギーンズ理論において、温度および物性定数の関数として、平衡状態のスカラー秩序パラメータに導出可能な明示的上限は何か？
• RQ3 なぜランダウ＝デギーンズ理論は低温領域で物理的に不自然な大きな秩序パラメータ（1より大きい）を予測するのか？
• RQ4 物理的制約を満たすように、秩序パラメータに制限を課す修正ランダウ＝デギーンズエネルギー関数を構築可能か？
• RQ5 Ginzburg-Landau型ペナルティ項は、平衡状態が物理的に許容されるQテンソルの集合内に留まるようにどのように保証するのか？

主な発見

• ランダウ＝デギーンズ理論は低温領域においてスカラー秩序パラメータが1を超えることを予測し、最大固有値が $ 1/\text{sqrt}(6) \times \text{trace} $ に制限される確率的2階モーメント制約に違反する。
• 温度および物性定数の関数として、平衡状態のスカラー秩序パラメータの明示的上限が導出され、理論がネマチック＝無秩序転移温度付近ですでに物理的境界を満たさないことが示された。
• 極限 $ \rho \to 0 $ において、修正エネルギー関数 $ F_\rho $ が $ |{\bf Q}^*| \to 1/\text{sqrt}(6) $ を満たし、すべての温度領域で2階モーメント定義と整合する。
• 修正エネルギー密度 $ f_{B,\rho}({\bf Q}) $ は、秩序パラメータが確率的境界に違反する場合に発散し、物理的実現可能性が効果的に強制される。
• 修正関数は一階のネマチック＝無秩序相転移を保存し、平衡状態が単軸または無秩序のままであることを維持する。
• Ginzburg-Landauアプローチは物理的に整合性のある枠組みを提供するが、平均場モデルからの直接的な微視的導出が欠けているため、今後の微視的・巨視的導出に関する研究が求められる。